Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Р (Л | В) = Р (Л Л В)/Р (В) = (1/6)/(1/2) = 1/3.
Из полученного результата следует, что условная вероятность выпадения в опыте 1 или 2 при условии, что произошло В, т. е. выпало четное очко, равна 1/3. С другой стороны, условная вероятность выпадения четного очка при условии, что выпали цифры 1 или
2, равна
Р (В | Л) = Р (Л Л В)/Р (Л) =
= (1/6)/(1/3) = 1/2.
Результат этот является очевидным.
Одно из применений условной вероятности заключается в нахождении полной вероятности.
для полной вероятности.
Пусть имеется п несовместных со- ри? X J Диаграмма Эйлера-Венна
бытий Ль Л2, Л„ и произвольное событие В, показанные на диаграмме Эйлера—Венна (рис. 1.7). События охватывают все пространство S, так что
ArUA2U ... UAn = S.
(1.18)
Поскольку события ЛI и Aj (i Ф j) несовместны, В Л At и В Л Л A j также несовместны. Далее, с учетом (1.18) запишем
В = ?л(ЛхиЛи ... и Ап) = (В Л Лх) и (В л и ... и(ВЛЛп).
Следовательно, из (1.11)
Р (В) = Р (Б Л Лх) + Р (В Л Л2) Н-----Ь Р (В Л Ап). (1.19)
Но из (1.17)
Р(В Л Л,) = Р(В| Л,)Р(Л,).
Подстановка в (1.19) дает
Р (В) = Р (В | Лх) Р (Л х) -f- Р (В | Л2) Р (Л2) -J- ... +Р(В|Лп)Р(Лга).
(1.20)
2 Дж. Кунер
Величина Р (В) — это полная вероятность, а выражение (1.20) — ее представление в виде суммы различных условных вероятностей.
Приведем пример, который поможет уяснить, каким образом применяется понятие полной вероятности. Пусть имеется вертушка, на которой закреплено шесть коробок. В каждой из них содержится набор резисторов (табл. 1.3). Если случайным образом1)
Таблица 1.3
Наборы резисторов с различными номинальными сопротивлениями
Номинальное Наборы резисторов в коробках с номерами: Всего
1 2 3 4 5 6
10 Ом 500 0 200 800 1200 1000 3700
100 Ом 300 400 600 200 800 0 2300
1000 Ом 200 600 200 600 0 1000 2600
Итого: 1000 1000 1000 1600 2000 2000 8600
из произвольной коробки взять один резистор, то какова вероятность того, что его номинальное сопротивление будет равняться 10 Ом? Событиям А{, фигурирующим в (1.20), можно поставить в соответствие выбор той или иной коробки, так что
Р (At) = 1/6, i = 1, 2, ..., 6,
поскольку мы предположили, что обращение к любой коробке возможно с одинаковой вероятностью. Пусть событие В состоит в извлечении 10-омного резистора. Очевидно, что его условные вероятности определяются количествами таких резисторов в каждой из коробок. Таким образом,
Р (В j At) = 500/1000 = 1/2, Р (В | Л2) = 0/1000 = 0,
Р (В | А,) = 200/1000 = 2/10, Р (В | Л4) = 800/1600 = 1/2,
Р (В\АЬ) = 1200/2000 = 6/10, Р (Я| А,) = 1000/2000 = 1/2.
х) Выражения «случайным образом» или «наугад» обычно означают «с равной вероятностью».
Следовательно, найденная по формуле (1.20) полная вероятность извлечения 10-омного резистора будет равна
Р (В) = (1/2) (1/6) + 0 (1/6) +
+ (2/10) (1/6) + (1/2) (1/6) + (6/10) (1/6) +
+ (1/2) (1/6) = 0,3833.
Нужно заметить, что выше при определении условных вероятностей были использованы понятия относительной частоты и равновозможности событий, однако основное выражение (1.20) получено в рамках аксиоматического подхода.
Величины Р (Лг) (i -- 1, 2, ..., п) в (1.20) обычно называют априорными вероятностями, поскольку с их помощью оценивается вероятность события Лг до выполнения опыта. После же того как опыт произведен и установлено, что событие В произошло, событиям Ai ставятся в соответствие условные вероятности Р (At\B). Для их определения перепишем (1.17) в виде
Р (A t П В) = Р (A 11 В) Р (В) - Р (В | А О Р (А;).
Последнее равенство в этом соотношении обусловлено тем, что события Лг и В можно просто поменять ролями. Отсюда получаем
Р (At\B) = Р (B\At)P (А^Р (В), Р(В)Ф0, (1.21)
и, подставляя (1.20), находим
PM-lfi) —_____________Р (В 1 At) Р (At)_______ л 22)
^ '1 ' "" Р (В | А,) Р (А,) + • ¦ • + Р (В | Ап) Р (Ап) ¦ I1
Условную вероятность Р (Л г | В) часто называют апостериорной, поскольку она распространяется на ситуации, возникшие после окончания опыта, а выражения (1.21) или (1.22) называются формулами Байеса.
Понятие апостериорной вероятности можно проиллюстрировать, продолжив рассмотрение нашего примера. Предположим, что извлеченный из какой-либо коробки резистор оказался 10-омным. Какова вероятность того, что он был взят из коробки № 3? Поскольку событие В по-прежнему состоит в извлечении 10-омного резистора, условные вероятности Р(В|Лг) остаются теми же. Кроме того, априорные вероятности по-прежнему равны 1/6. Поэтому из (1.21) с учетом найденного выше значения Р (В) получим
