Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Р (Л,| В) = (2/10) (1/6)/0,3833 = 0,0869.
Это и есть вероятность того, что извлеченный наугад 10-омный резистор был взят из коробки № 3.
Упражнение 1.7.1. Используя приведенные в табл. 1.3 данные, определите вероятность того, что
а) извлеченный 1000-омный резистор был взят из коробки № 3;
б) извлеченный 10-омный резистор был взят из коробкн № 5.
Ответы: 0,1067 , 0,2609.
Упражнение 1.7.2. Изготовитель электронного оборудования закупил партии в 1000, 2000 и 3000 интегральных схем у поставщиков А, В и С соответственно. При проведении входного контроля выявилось, что условные вероятности отказов этих микросхем во время прогона составляют
Р (отказ | А) = 0,1, Р (отказ | В) = 0,05, Р (отказ | С) = 0,08.
Все микросхемы смешивают и наугад берут одну из них. Какова вероятность того, что
а) выбранная микросхема откажет во время прогона?
б) отказавшая микросхема поступила от поставщика Л?
Ответы: 0,0733, 0,2273.
1.8. Статистическая независимость
В теории вероятностей особое значение имеет понятие статистической независимости. Оно было введено выше, когда при рассмотрении в рамках относительно-частотного подхода двух опытов с подбрасыванием монет выяснилось, что исход второго из них не зависит от результата первого. Теперь, когда мы располагаем более общей формулировкой случайного события, это понятие можно развить, однако основное определение статистической независимости остается справедливым. Напомним его.
События А и В статистически независимы тогда и только тогда, когда
Р*(Л П В) = Р (А) Р (В). (1.23)
На практике события часто считают независимыми, потому что
не находят очевидного физического механизма, при помощи ко* торого осуществлялась бы связь между ними. В других случаях принятые значения вероятностей элементарных событий ведут к независимости определенных с помощью них событий. В таких ситуациях статистическая независимость может быть неявной, однако выражение (1.23) позволяет установить ее наличие.
Понятие статистической независимости можно распространить на случай трех и более событий. К примеру, для трех событий условия независимости записываются в виде
Р (Лх П А2) = Р (Лх) Р (Л2),
Р (А, Л As) = Р (Аг) Р (Л8),
Р (А2 Л Л3) = Р (Л2) Р (Л3),
Р (Аг Л А2 П А,) = Р (А,) Р (А2) Р (As).
Обратите внимание на то, что должны удовлетворяться все четыре условия и что их попарной независимости для независимости всех событий из данного набора недостаточно. В общем случае если имеется п событий, то для их статистической независимости необходимым и достаточным является выполнение условия
Р (A i [) A j [\ ... ЛЛ) = Р(Л,)Р(Л,) ... Р(Л) (1.24)
для каждого набора целых чисел, меньших или равных п. Поэтому для установления независимости п событий нужно иметь 2п — (п 4 1) выражений вида (1.24).
Одним из важных следствий независимости двух событий А и В является преобразование выражения (1.16)
Р (A U В) = Р (А) + Р (В) — Р (А П В)
к виду
Р (А и В) = Р (А) + Р (В) — Р (А) Р (В). (1.25)
Еще одно следствие для трех независимых событий Alf А2 и А3 имеет вид
р (Аг л (А, и А3)) = Р (АО Р (Ая и А,). (1.26)
Если же эти события независимы только попарно, то (1.26) не будет справедливым. В общем если Аг, А2, ..., Ап — независимые события, то ни одно из них не зависит от объединений, пересечений и дополнений других.
Практическими примерами, иллюстрирующими понятие статистической независимости, чаще всего служат опыты, приводящие к двум или большему числу событий. Для иллюстрации рассмотрим пример одного опыта и связанной с ним пары событий. Пусть этот опыт заключается в бросании двух игральных костей; определим для него события А и В как сумму очков 7 и 11 соответственно. Являются ли эти события независимыми? Нет, не являются, поскольку одно событие исключает другое, а несовместные события не могут быть статистически независимыми.
В качестве второго примера рассмотрим два события, которые нельзя считать несовместными. Для того же случая бросания пары игральных костей определим события А — {выпадение нечетной суммы очков} и В = {выпадение суммы очков 11}. Событие А Л В — В, поскольку В = подмножество А. Следовательно, Р (А Л В) — Р (В) — Р (11) = 2/36 = 1/18, так как число 11 может быть получено двумя способами (как 5+6 или
6 -f 5). Кроме того, Р (А) = 1/2, так как нечетное число выпа-
дает в половине всех исходов. Отсюда следует, что
Р (Л П В) = 1/18 #Р(Л)Р (В) = (1/2) (1/18) = 1/36.
Таким образом, события Л и В не являются статистически независимыми. Это очевидно, поскольку если событие В произошло, то должно произойти и событие Л, хотя обратное утверждение неверно.
Статистическую независимость случайных событий того или иного опыта можно определить и в тех случаях, когда из логического анализа возможных наборов событий данный вывод непосредственно не следует. Например, определим для бросания одной кости два события: А = {1, 2, 3} и В = {3, 4}. Из предыдущих результатов ясно, что Р (Л) = 1/2, а Р (В) — 1/3. Событию (Л Л П В) соответствует один элемент {3}, а поэтому Р (Л П В) = = 1/6. Отсюда следует, что
