Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Купер Дж. -> "Вероятностные методы анализа сигналов и систем" -> 12

Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем — М.:Мир, 1989. — 376 c.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostniemetodi1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 158 >> Следующая

Рис. 1.5. Дополнение множества А. Рис. 1.6. Разность двух множеств.
ства S, как и прежде, являются натуральные числа от 1 до 6, 5 = |1, 2, 3, 4, 5, 6}, и определим следующие подмножества:
Л = {2, 4, 6[, В = {1, 2, 3, 4}, С = {1,3, 5}.
Учитывая приведенные соотношения, можно записать:
(ЛиВ) = {1, 2, 3, 4, 6}, (В11С) = {1. 2, 3, 4, 5},
Ли?иС = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 5 = ЛиС,
Л ПВ = {2, 4}, В(\С = {1, 3}, Л ПС = 0,
ЛПВ(1С = 0, А = {1, 3, 5} = С, В = |5, 6},
С = |2, 4, 6\ = А, А-В = {6\, В-Л = { 1, 3},
Л — С = {2, 4, 6} = Л, С-Л = |1, 3, 5} = С, В - С = {2, 4},
С-В = {5}, (Л-В)11В = |1, 2, 3, 4, 6}.
Самостоятельно проверьте полученные результаты.
Упражнение 1.5.1. Считая А н В подмножествами одного пространства S, найдите: _
а) (Л - В) П (В - А)-, б) (Л — В) П В; в) (А - В) U (А П В). Ответы: А, (А — В), 0.
Упражнение 1.5.2. Пусть в пространстве 5 = {а, Ь, с, d, е, /} имеются два подмножества: А = {а, с, е} и В = {с, d, е, /}. Найдите:
a) A U В, б) А П В, в) (Л - В), г) А П В, д) А П В, е) (В - A) U Л. Ответы-, {а, с, d, е, /}, {a}, {d, /}, {а, с, d, е, /}, {а}, {с, е}.
Попытаемся теперь связать теорию вероятностей с изложенными в предыдущем разделе положениями теории множеств. Такая связь устанавливается путем введения вероятностного пространства, элементы которого составляют всю совокупность исходов (множество возможных исходов опыта). Например, если в опыте с игральной костью в качестве возможных исходов рассматривать случаи выпадения каждой из шести граней кубика, то соответствующим вероятностным пространством будет множество 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Различные подмножества этого пространства могут быть идентифицированы как случайные события. Примем, что в рассматриваемой ситуации случайное событие \2\ соответствует выпадению грани 2, {1, 2, 3} — выпадению одной из граней 1, 2 или 3. Поскольку каждый опыт должен иметь по крайней мере хотя бы один исход, все вероятностное пространство 5 соответствует достоверному событию, а пустое множество 0 невозможному событию. Любое событие, состоящее из одного элемента, называется элементарным.
Следующий шаг заключается в сопоставлении каждому событию числа, называемого, как и прежде, его вероятностью. Если случайное событие обозначить через А, то его вероятность равна Р (Л). Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла трем следующим условиям, или аксиомам:
Вся теория вероятностей строится на этих трех аксиомах. Необходимо, однако, еще раз подчеркнуть, что исходные аксиомы постулируются и попытка доказать их лишена смысла. Единственным возможным критерием справедливости этих аксиом является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальный мир. Этот критерий справедлив и в отношении любой другой естественно-научной теории.
Из принятых аксиом можно вывести целый ряд следствий, и некоторые из них будут сейчас получены. Во-первых, поскольку
5 П 0 = 0 и 5 U 0 = 5, из (1.11) следует, что
1.6. Аксиоматический подход
Р (Л) > О,
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Р (5) = 1,
если Л П В = 0, то Р (Л U В) = Р (Л) + Р (В).
P(5U0) = P(5) = P(S) + P(0).
Поэтому
Р(0) = О. (1.12)
Во-вторых, поскольку А П Л = 0 и A U А = S, из (1.10) и (1.11) следует
Р(Ли J) = P(i4) + P(J) = P(S) = 1. (1.13)
Отсюда получаем
Р(Л) = 1 -Р(Л)<1. (1.14)
Таким образом, вероятность события представляет собой число, заключенное в пределах от 0 до 1.
Если события Л и В не являются несовместными, то вообще говоря постулат (1.11) не может выполняться. Можно, однако, получить более общее выражение. Из приведенной на рис. 1.3 диаграммы Эйлера—Венна следует, что
AUB = AU(Af]B)
и что множества А и А (~| В являются непересекающимися. Следовательно, из (1.11) вытекает соотношение
Р(Л11?)= Р(ЛиЛ_П5) = Р(Л) + Р(ЛП5).
Из этой диаграммы также ясно, что В = (Л f) В) (J {А П В), а множества А [\ В и А [\ В взаимно-исключающие. В соответствии с этим имеем
Р(В) = Р((ЛПВ)и(^П5))-Р(ЛП5) + Р(ЛПВ). (Ы5)
Исключая из (1.15) член Р (Л (~| В), получим
Р(Ли?) = Р(Л) + Р(В)-Р(ЛПЯ)<Р(Л) + Р(В), (1.16)
и приходим к искомому следствию.
Теперь, после того как теоретические соотношения аксиоматического подхода получены, обратимся к задаче построения вероятностных пространств. Сначала рассмотрим пример с бросанием одной игральной кости и связанного с этим опытом вероятностного пространства S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Элементарными событиями являются выпадения целых чисел, нанесенных на обращенную вверх грань, и понятно, что они взаимно исключают друг друга. Если предположить равновозможность этих событий, то вероятность каждого из них
Р{аг} = 1/6, а, = 1, 2, ... ,6.
Обратите внимание, что принятое предположение может считаться истинным при относительно-частотном подходе, но в рамках аксиоматического подхода оно остается только предположением, поскольку можно исходить из любых других.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed