Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Р (А) = 0);
4) вероятность достоверного события равна единице (например, Р (А) = 1).
В целях уточнения смысла некоторых из этих положений проведем следующий гипотетический опыт. Пусть в большой коробке в совершенно произвольном порядке лежат резисторы различных номиналов. Допустим, в частности, что 100 резисторов имеет номинальное сопротивление 1 Ом, 500 резисторов — 10 Ом, 150 резисторов — 100 Ом и 250 резисторов — 1000 Ом. Предположим, что из коробки наугад берут один резистор. Поскольку в опыте фигурируют всего четыре номинала, он может иметь четыре возможных исхода. Определим вероятности каждого из соответствующих событий. Будем считать, что они пропорциональны количествам находящихся в коробке резисторов различных номиналов, выбор которых означает наступление того или иного события. Поскольку в коробке всего 1000 резисторов, результирующие вероятности будут такими:
Р (1 Ом) = 100/1000 = 0,1,
Р (10 Ом) = 500/1000 = 0,5,
Р (100 Ом) = 150/1000 = 0,15,
Р (1000 Ом) = 250/1000 = 0,25.
Обратите внимание, что все они — положительные числа меньше единицы, а сумма их равна 1.
Во многих ситуациях интересно знать вероятность многократного события. Пусть монету подбрасывают дважды; возникает вопрос: какова вероятность выпадения решетки два раза подряд? Вероятность такого события называется совместной вероятностью. Имеет смысл предположить, что в рассматриваемой ситуации все четыре возможных события (выпадения решетка—решетка, решетка—герб, герб—решетка и герб—герб) равно возможны, и следовательно, вероятность каждого из них составляет 1/4. В других, более близких к практике случаях дело обстоит сложнее, так что для выяснения истинной природы совместной вероятности необходимо рассмотреть не такой простой пример. С этой целью введем обозначение Р (А, В) для совместной вероятности двух случайных событий А и В.
Пусть в рассмотренном выше примере резисторы в коробке различаются не только по номиналам, но и по мощностям рассея-
ния. Предположим, что последние могут равняться 1, 2 или 5 Вт. Количество резисторов каждой мощности указаны в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Количество резисторов с различными номинальными сопротивлениями и предельными мощностями рассеяния
Мощность Количество резисторов с номинальным сопротивлением: Всего:
1 Ом 10 Ом 100 Ом 1000 Ом
1 Вт 50 300 90 0 440
2 Вт 50 50 0 100 200
5 Вт 0 150 60 150 360
Итого: 100 500 150 250 1000
Прежде чем обращаться к примеру, который позволит лучше понять смысл понятия «совместная вероятность», найдем вероятности вытаскивания резисторов любого номинала определенной мощности рассеяния (будем эти вероятности называть априорными). В последнем столбце табл. 1.2 указаны суммарные количества резисторов определенной мощности рассеяния; исходя из этих количеств можно подсчитать искомые вероятности:
Р (1 Вт) = 440/1000= 0,44, Р (2 Вт) = 200/1000 = 0,2,
Р (5 Вт) = 360/1000 = 0,36.
Выясним теперь, какова совместная вероятность события, заключающегося в выборе резистора с номинальным сопротивлением 10 Ом и мощностью рассеяния 5 Вт. Поскольку в коробке 150 таких резисторов, ясно, чтоР (10 Ом, 5 Вт) = 150/1000 = 0,15.
Значения других 11 совместных вероятностей могут быть найдены аналогичным образом. Обратите внимание на тот факт, что некоторые из них будут равны нулю (например, Р (1 Ом, 5 Вт) = = 0) просто из-за отсутствия соответствующих комбинаций сопротивлений и мощностей.
Теперь необходимо соотнести между собой понятия совместной и априорной вероятностей. В примере с двукратным бросанием монеты связь между ними выражается простым произведением, т. е.
Р (решетка—решетка) =
= Р (решетка)-Р (решетка) = (1/2)-(1/2) = 1/4.
Однако для рассматриваемого примера с резисторами (табл. 1.2) указанная зависимость не выполняется. Чтобы убедиться в этом,
напомним, что Р (5 Вт) = 360/1000 = 0,36 и, как было показано выше, Р (10 Ом) = 0,5. Таким образом,
Р (10 Ом) Р (5 Вт) = 0,5-0,36 =
= 0,18 ф Р (10 Ом, 5 Вт) = 0,15,
и совместная вероятность не равна произведению априорных вероятностей.
Чтобы лучше понять полученный результат, необходимо ввести понятие условной вероятности. Эго вероятность осуществления однократного события А при условии, что произошло событие В\ обозначение, принятое для нее, — Р (А | В). Вернувшись к примеру с резисторами, найдем условную вероятность выбора 5-ваттного резистора с номинальным сопротивлением 10 Ом. Поскольку 5-ваттных резисторов-всего 360, а 150 из них — 10-ом-ные, то
Р (10 Ом| 5 Вт) = 150/360 = 0,417.
Теперь найдем произведение этой условной вероятности и априорной вероятности выбора 5-ваттного резистора:
