Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Купер Дж. -> "Вероятностные методы анализа сигналов и систем" -> 17

Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем — М.:Мир, 1989. — 376 c.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostniemetodi1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 158 >> Следующая

Найдите вероятность того, что
б) решетка выпадет два раза;
в) решетка выпадет более одного раза.
Ответы: 1/2, 3/8.
1.10. Схема Бернулли
Здесь мы рассмотрим ситуацию, в которой один и тот же опыт выполняется я раз и нужно найти вероятность того, что какое-то событие случится точно k раз. Примером может служить определение вероятности четырехкратного выпадения решетки при десятикратном подбрасывании монеты. Серия опытов такого типа носит название схемы Бернулли.
Пусть в некотором опыте вероятность события А равна Р_(Л) = = р. Тогда вероятность того, что оно не произойдет Р {А) = q, причем р + q = 1 2). Выполним этот опыт п раз, предположив, что отдельные испытания независимы, а значит, исход любого из них никак не связан с исходами предыдущих (или последующих) испытаний. Далее, найдем вероятность появления события А точно k раз в определенной последовательности, скажем только в первых k испытаниях. Поскольку опыты независимы, искомая вероятность будет записываться следующим образом:
Р (А) Р (А) ... Р (А) Р (А) Р (А) ... Р (Л) = pkqn~k •
— 1 — — ш -----------------------------
к из п (n—k) из п
2) Обозначения р н q приняты здесь потому, что они применяются в большинстве источников при рассмотрении схемы Бернулли.
Однако имеются много других вариантов реализации последовательности k событий, поскольку они могут происходить в любом порядке. К тому же вследствие их независимости вероятность k событий будет всегда той же, что и записанная. Отсюда событие, заключающееся в том, что событие А произойдет k раз в любом порядке, представляет собой сумму несовместных событий, состоящих в том, что А произошло k раз в определенном порядке, а поэтому вероятность первого события будет равняться просто произведению pkqn~k, умноженному на число различных возможных вариантов следования событий А.
Здесь необходимо отвлечься от темы и обратиться к комбинаторике, с помощью которой можно определить число различных вариантов появления события А в п опытах точно k раз. Оче-нидно, в случае формирования последовательности длиной п первое событие А может занять любое из п мест, второе — любое из оставшихся (п — 1) мест и т. д., так что для k-ro события А останется (п — k -f- 1) мест. Таким образом, полное число различных последовательностей длиной п, содержащих точно k событий А, равно произведению числа различных возможностей. И окончательно, поскольку k\ порядков следования k событий будут идентичны, искомое число запишется как
(1/Л!) [я (я 1) (я — 2) ... (я — & + 1)] = (n\)/k\ (я — k)\. (1.28)
Правая часть (1.28) — обычный биномиальный коэффициент, часто обозначаемый С„ или (^)3)- В этой книге будет использоваться последнее обозначение.
Найдем, к примеру, биномиальный коэффициент для п — 4 и k = 2:
/ и \ _ _ 41 _ „
\ k ) 2! 2!
и существует шесть различных последовательностей, в которых событие А случается ровно 2 раза. Их можно записать в виде АААА, АААА, АААА, АААА, АААА, ~АААА. Теперь искомая вероятность того, что событие А произойдет k раз, находится как
pn(k) = Р \А произошло k раз} = ( ^) pV (1.29)
Чтобы проиллюстрировать возможности применения полученного результата, обратимся к примеру ЭВМ, в которой двоичные числа 0 и 1 организованы в 32-разрядные слова. Какова вероятность однократной ошибки при чтении слова, если вероят-
3) Значения этих коэффициентов приведены в приложении В.
ность ошибки при чтении двоичной цифры составляет 10-3? В рассматриваемом случае п = 32, k = 1, р — 10~3. Следовательно,
Р {Одна ошибка в слове} = р32( 1) = (10_3)1(0,999)31 =
= 32 (0,999)31(10-3)« 0,031.
Выражение (1.29) может использоваться также для нахождения вероятности отсутствия в слове ошибок. В такой ситуации k = 0,
Есть множество других практических приложений схемы Бернулли. Например, в системе, состоящей из п элементов, вероятность отказа каждого из которых равна р, вероятность того, что из строя выйдет только один элемент, равна
Иногда может представлять интерес определение вероятностей того, что некоторое событие произойдет по меньшей мере k раз или не более k раз. Эти вероятности можно найти, сложив вероятности всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие. Например, найдем вероятность двукратного как минимум выпадения решетки при четырехкратном подбрасывании монеты. Для такого опыта р = q = 1/2, а п = 4. Из (1.29) получаем, что вероятность события, заключающегося в двукратном выпадении решетки равна
Аналогично, вероятность трехкратного выпадения равна
Р {Отсутствие ошибок в слове} = р32(0) =
= (302)(Ю-3)°(0,999)32 -- (0,999)32« 0,9685.
Р {Неисправен один элемент} = рп (1) = ^ ” j pq(n 1J
РЛ2) = ( 2 ) (1/2)2(1/2)2 - 6 (1/4) (1/4) = 3/8.
Pi (3) = ( з ) (1/2)3(1/2)1 = 4 (1/8) (1/2) = 1/4,
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed