Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Р (Л П В) = 1/6 = Р (А) Р (В) = (1/2) (1/3) - 1/6
и события А и В независимы, хотя физический смысл этого вывода интуитивно понять и не удается. В следующем разделе рассматриваются ситуации, в которых фигурируют два или более опытов, а также случаи, в которых в ходе единственного опыта проводится более одного испытания, и проводимое в этом разделе обсуждение поможет прояснить суть дела.
Упражнение 1.8.1. Из обычной колоды в 52 карты наугад берут одну. Пусть событие А = {извлечение туза}, В = {извлечение карты мастн «пики»}. Являются ли эти события статистически независимыми? Обоснуйте ответ.
Ответ: Да, события А а В статистически независимы.
Упражнение 1.8.2. Пусть переключатели А, В, С и D в показанной коммутирующей схеме срабатывают случайным образом и независимо друг от друга. Найдите вероятность протекания тока / через схему, если вероятность замкнутого состояния каждого переключателя равна 0,2.
Ответ-. 0,0464.
1.9. Совместные опыты
Выше вероятностное пространство S связывалось с результатами одного опыта. Такая концепция слишком ограниченна и не позволяет рассматривать многие практические случаи, поэтому нужно ее обобщить. Рассмотрим ситуацию, связанную с выпол-
нением пары опытов. Пусть, например, один из них заключается^ в бросании игральной кости, а другой — в подбрасывании монеты, и необходимо найти вероятность выпадения, скажем, цифры 3 на игральной кости и герба на монете. В других случаях вторым опытом может быть просто выполнение еще одного испытания. Оба эксперимента, рассматриваемые в совокупности, образуют совместный опыт, для которого теперь необходимо определить вероятностное пространство.
Пусть одному из опытов отвечает пространство элементарных событий Slt а другому S2. Обозначим элементы первого как =
= {а^ а2, ..., ап), а второго как S2 = {рх, р2, рт}. Затем образуем новое пространство, называемое декартовым произведением, элементы которого представляют собой всю совокупность упорядоченных пар (о^, (3^, (alt р2), ..., (а;, р,), (а„, рт).
Таким образом, если множества и S2 включают соответственно п и т элементов, то новое пространство включает тп элементов. Декартово произведение записывается в виде S = SxxS2, что дает возможность отличать его от определенного в разд. 1.5 пересечения (или произведения) множеств.
Чтобы проиллюстрировать применение декартова произведения в случае совместных опытов, вернемся к обсуждавшемуся выше примеру с бросанием кости и монеты. Пространство, соответствующее опыту с костью, можно записать как = {1, 2,
3, 4, 5, 6}, а опыту с монетой, — как S2 = {решетка, герб}.
Таким образом, декартово произведение включает 12 элементов и записывается в виде
S = S1xS2 = {(1, решетка), (1, герб), (2, решетка),
(2, герб), (3, решетка), (3, герб), (4, решетка)}.
(4, герб), (5, решетка), (5, герб), (6, решетка), (6, герб).
Теперь необходимо определить события в новом вероятностном пространстве. Если Аг и Л2 — рассматриваемые в качестве событий подмножества пространств и S2 соответственно, то А = ЛххЛ2 — событие пространства S. В частности, пусть в описанном выше примере Лх — {1, 3, 5}, а Л2 = {решетка}. Отвечающее такому случаю событие А записывается в виде А —
-- Л1хЛ2 = {(1, решетка), (3, решетка), (5, решетка)}.
Чтобы найти вероятность события А, необходимо установить, являются ли оба опыта независимыми — мы будем рассматривать только такие ситуации. Для них вероятность события, выраженного декартовым произведением, будет равна произведению вероятностей событий в исходных пространствах. Таким образом, если Р {Аг) и Р (Л2) — вероятности события Ах в пространстве Sx и события Л2 в пространстве S2, то вероятность события Л в пространстве S будет
Р (Л) = Р (Л, х А2) = Р (АО Р (Л2). (1.27)
Полученный результат можно численно проиллюстрировать с помощью нашего примера. Из полученных выше результатов следует, что для Ах = {1, 3, 5} вероятность Р (Лх) = 1/6 + 1/6 -f--f- 1/6 = 1/2, а для А2 — {решетка} имеем Р (Л2) = 1/2. Таким образом, вероятность одновременного выпадения нечетного очка на кости и решетки составляет Р (А) = (1/2)-(1/2) = 1/4.
Изложенные соображения можно достаточно просто обобщить и распространить на ситуации, где фигурирует более двух опытов. Однако в последующем мы ограничимся лишь случаем произвольного числа повторений (испытаний) одного и того же опыта.
Упражнение 1.9.1. Совместный опыт заключается в бросании игральной кости, на грани которой нанесены цифры от 1 до 6, и детского кубика с буквами от А до F.
а) Напишите все элементы, входящие в декартово произведение соответствующих пространств.
б) Пусть К — событие, заключающееся в выпаденин на игральной кости четного очка, а на кубике — букв В или С. Найдите его вероятность.
Ответ: 1/6.
Упражнение 1.9.2. Совместный опыт заключается в трехкратном бросании монеты.
а) Перечислите все элементы декартова произведения Р (решетка) РР, РГ (герб) Р, ГГР и т. д.
