Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Все рассматриваемые в теории вероятностей множества содержат элементарные события, принадлежащие наибольшему множеству S, называемому пространством элементарных событий. Следовательно, все они являются его подмножествами. Связь пространства 5 и его подмножеств с вероятностью скоро станет понятной, а пока приведем пример. Предположим, что элементами пространства S являются шесть возможных исходов бросания игральной кости 1, 2, ..., 6. Таким образом, S = {1, 2.....6|.
Подмножества могут формироваться многими способами в зависимости от количества входящих в них элементов. С учетом пустого множества, которое вообще не содержит элементов и обозначается знаком 0, в рассматриваемом множестве может быть выделено в общей сложности 2е = 64 подмножества: 0, |1}, ..., |6},
{1, 2}, {1, 3}, ..., {5, 6}, |1, 2, 3}, ..., S. В общем случае если множество 5 содержит п элементов, в нем можно выделить 2" подмножеств. Доказательство этого положения оставлено читателям в качестве упражнения.
Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление — наглядное и облегчающее понимание смысла этих преобразований. Оно носит название диаграммы Эйлера—Венна и на ней пространство S изображается в виде квадрата, а различ-
ные множества — в виде плоских фигур, ограниченных замкнутыми линиями. Пример такой диаграммы приведен на рис. 1.1. Видно, что В является подмножеством Л, а С — подмножеством В (и одновременно подмножеством А). В дальнейшем мы будем использовать эти диаграммы для определения и объяснения смысла различных операций.
Равенство множеств. Множества А и В равны тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А является элементом множества В, и обратно, каждый элемент множества В является
элементом множества А. Таким образом, А = В тогда и только
л
/Л 8 л и S.
Рис. 1,1. Диаграмма Эйлера—Венна Рис. 1.2. Объединение, или сумма
для С С В а А. Двух множеств, A \J В.
тогда, когда А а В и йсД, Диаграмма Эйлера—Венна для этого случая очень проста, и мы не будем ее приводить.
Объединение множеств. Объединением или суммой двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Диаграмма Эйлера—Венна для этого случая показана на рис. 1.2. Поскольку предполагается, что выполняется ассоциативный закон, объединение (сумма) более чем двух множеств может записываться без скобок, т. е.
HUB)UC = Ли (В U С) = A[jB[jC
В соответствии с коммутативным законом имеем Л (J В ~ В (J Л, Л (J Л = Л, Л U 0 = A, A (J 5 = 5;Л U В = Л, если В cz А.
Пересечение множеств. Пересечением или произведением двух множеств называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам. Пересечение множеств обозначают Л f] S, а соответствующая этому случаю диаграмма Эйлера—Венна показана на рис. 1.3. Из этой диаграммы можно вывести ряд следствий: Л f) В — В f) П Л (коммутативный закон), Л (~| Л = Л, Л [) 0 = 0, Л (1 [) S — А; А f) В = В, если В с Л.
На рис. 1.4 показана диаграмма для пересечения более чем двух множеств. Видно, что
(Л ПВ)ПС = ЛП(ВПС) = Л л вне,
ЛП(Я11С) = (ЛП?)и(ЛПС)
(ассоциативный закон).
Два множества Л и В являются взаимно-исключающими, или несовместными, если A f| В = 0. На диаграмме Эйлера— Венна такие множества не пересекаются.
Рис. 1.3. Пересечение, или произве- Рис. 1.4. Пересечение трех множеств, дение двух множеств, А В. А В С.
Дополнение множеств. Дополнением множества А называется множество, в котором содержатся все элементы пространства 5, кроме принадлежащих А. Оно обозначается через А и показано на рис. 1.5. Очевидно, что
0=5, 5 = 0, (Л) = Л, ЛиЛ = 5, ЛГМ = 0;
А а В, если В с: Л, А = В, если Л = В,
Кроме того, существуют два соотношения, называемые законами де Моргана:
ЩВ) = А[\В, ЩЩ = А\}В.
Разность множеств. Разность А — В множеств Л и В есть множество, состоящее из элементов множества Л, не принадлежащих множеству В. Соответствующая диаграмма Эйлера— Венна показана на рис. 1.6. Разность множеств может быть записана в виде
Л-В = Л\В = ЛП§ = Л-(ЛПВ),
Запись (Л — В) часто читают как «А без В». Из рассмотрения диаграммы Эйлера—Венна очевидны следующие соотношения:
(А-В)[]ВфА, (ЛиВ)-Л = 0, Ли(Л-Л) = Л,
Л — 0 = А, А — S = 0, S — Л = Л.
Обратите внимание на то, что в выражениях, где фигурирует разность множеств, нельзя опускать скобки.
Описанные выше преобразования полезно проиллюстрировать конкретным примером. Предположим, что элементами простран-
/"~Л ( _)
( ' )
W 3 --- А )
>---/
А
