Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Р (10 Ом|5 Вт) Р (5 Вт) = 0,417-0,36 =
= 0,15 = Р (10 Ом, 5 Вт).
Мы видим, что произведение априорной и условной вероятностей равно совместной вероятности.
Тот же самый результат можно получить и другим путем. Рассмотрим условную вероятность
Р (5 Вт| 10 Ом) = 150/500 = 0,30,
которая определяется наличием 150 5-ваттных резисторов среди 500 10-омных резисторов. Затем найдем произведение
Р (5 Вт| 10 Ом) Р (10 Ом) = 0,30-0,5 =
= Р (10 Ом, 5 Вт). (1.5)
И снова произведение соответствующих априорной и условной вероятностей равно совместной вероятности.
Исходя из приведенных соображений можно записать общее выражение
Р (А, В) = Р (А\В) Р (В) = Р (В\А) Р (А), (1.6)
из которого следует, что совместная вероятность двух событий всегда может быть представлена в виде произведения априорной вероятности одного из них и условной вероятности другого при условии осуществления первого.
Теперь обратимся к^случаю с бросанием монеты, с помощью которого показано, что совместная вероятность представляет со-
бой произведение двух априорных. При каких условиях это утверждение справедливо? Как следует из формулы (1.6), когда
Р (А | В) = Р (А) и Р (Б | А) = Р (В), т. е. когда вероятность
события А не зависит от того, имело ли место событие В. При
бросании монеты ситуация именно такова, поскольку результат одной попытки никак не влияет на исход другой. Такие события называют статистически независимыми. Дадим этому понятию строгое определение. Итак, два случайных события являются статистически независимыми тогда и только тогда, когда
Р (А, В) = Р (А) Р (В). (1.7)
Выше очень кратко были рассмотрены многие из основных понятий дискретной вероятности. Они были введены эвристически, без какого-либо математического доказательства. Понятия теории вероятностей вводились исходя из представления об относительной частоте и равно возможности событий на отдельных числовых примерах. Из них следует, что присвоение вероятностям различных событий приемлемых численных значений (в рамках относительно-частотного подхода) не связано с особыми сложностями, если ситуация достаточно далека от реальности. Тем не менее должно быть очевидным, что такой подход становится непригодным, если опыт может иметь множество различных исходов и если существует более чем один способ определения событий. В частности, так обстоит дело при попытках распространения результатов, полученных для дискретной вероятности, на случай бесконечного (несчетного) множества исходов. Поэтому необходимо вновь и более тщательно рассмотреть все высказанные соображения и воспользоваться строгим математическим подходом, который обеспечит более прочную основу для проведения дальнейшего анализа.
Упражнение 1.4.1. Известно, что из 25 транзисторов, находящихся в коробке, 8 неисправны. Берут иаугад один из них н проверяют. Какова вероятность того, что
а) этот транзистор неисправен?
б) второй взятый наугад транзистор также окажется неисправным?
в) второй выбранный случайным образом транзистор окажется неисправным, если первый оказался хорошим?
Ответы: 1/3, 8/25, 7/24.*)
Упражнение 1.4.2. Автоинспекцией было установлено, что на загруженной магистрали грузовики составляют третью часть всего потока. Кроме того, оказалось, что каждый десятый легковой автомобиль и каждый двадцатый грузовик имеют неисправности. Какова вероятность того, что
а) очередной подъезжающий к пункту автоинспекции автомобиль — неисправный грузовик?
б) следующее транспортное средство окажется грузовым автомобилем, если известно, что оно неисправно?
*) Ответы к этому и другим упражнениям, приведенным в тексте, не всегда даются в порядке следования вопросов.
в) проходящее транспортное средство окажется грузовым автомобилем, если известно, что перед этим проехал легковой автомобиль?
Ответы: 1/5, 1/3, 1/60.
1.5. Основы теории множеств
Более строгое определение вероятности, о котором упоминалось в разд. 1.4, завершается в этом разделе изложением соответствующих соображений в рамках аксиоматического подхода. Для этого требуется предварительное ознакомление с основными понятиями теории множеств.
Множество — это некоторый набор объектов, называемых элементами. Оно обозначается следующим образом:
А = \alt а2.....ап\, (1.8)
где А — множество, «х, аг, ..., ап — его элементы. Множество А
может состоять из натуральных чисел 1, 2.........6, при этом его
элементами будут ах — 1, а2 = 2, ..., а6 = 6. Любой набор, каждый элемент которого принадлежит множеству А, является его подмножеством. Так, В = {1, 2, 3} — подмножество А = {1,2,
3, 4, 5, 6}; это обозначается следующим образом: В с Л. Обратите внимание, что любое множество одновременно является своим собственным подмножеством.
