Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Наибольшую трудность при изучении элементов теории вероятностей представляет принятие удовлетворительного определения вероятности. Существуют четыре или пять различных определений, которые в свое время были предложены и сейчас используются с разной степенью успеха. Каждому из них присущи недостатки, связанные либо с принятой концепцией, либо с возможными приложениями. Как это ни удивительно, в самом удачном варианте вероятность никак не определяют.
Из всех подходов к определению вероятности чаще всего используют два: относительно-частотный и аксиоматический. Первый из них применяют потому, что в этом случае понятию «вероятность» пытаются придать некоторый физический смысл и, таким образом, связать понятия теории вероятностей с явлениями реального мира. Следовательно, приложение этой теории к решению технических задач почти всегда выполняется путем обращения к концепции относительной частоты события, хотя иногда инженер может поступать так неосознанно.
Ограничение такого подхода заключается в сложности использования его для получения соответствующего математического описания в случаях, слишком трудных для анализа с точки зрения физического их обоснования. Это вовсе не означает, что он не может быть употреблен в таких случаях, однако изложенное наводит на мысль о существовании более простого подхода к решению задач в ситуациях описываемого типа. Таким более простым подходом оказывается аксиоматический.
В аксиоматическом подходе вероятность события трактуется как некая численная величина, которая удовлетворяет определенным постулатам, но более никак не определяется. Вопрос о том, соотносится ли она с явлениями реального мира или нет, не является поводом для размышлений при развитии математических построений, отправной точкой которых служат принятые постулаты. Инженеры могут выдвинуть возражения против такого подхода, как искусственного и далекого от реальности, но следует помнить, что все здание теории цепей было построено фактически таким же путем. При этом фундаментальными постулатами послужили законы Кирхгофа и закон сохранения энергии. Независимо от того, какие физические величины обозначаются абстрактными математическими символами, возникает та же математическая модель, даже в случае полного отсутствия связи этих символов с какими-либо физическими величинами. Задача инженера состоит в выборе такого способа соотнесения математической модели и явлений реального мира, чтобы получить хотя и приближенные, но полезные решения практических задач.
Из приведенных рассуждений следует, что наиболее подходящим для инженерных целей подходом к определению вероятности должен быть двунаправленный подход, при котором понятие относительной частоты некоторого случайного события используется для соотнесения простых результатов с физической реальностью, а аксиоматический подход — для получения математических описаний, соответствующих более сложным ситуациям. Авторы придерживаются именно этой точки зрения.
1.4. Относительно-частотный подход
Как следует из самого названия, этот подход к определению вероятности имеет тесную связь с частотой появления определенных событий. Частота появления любого заданного события используется для определения численной величины, называемой вероятностью этого события и являющейся мерой того, сколь велика возможность его возникновения. Предположения о возможных значениях вероятностей обычно выдвигаются a priori, причем они основываются на наших интуитивных представлениях о проводимом опыте и равновозможности событий.
В целях более строгого изложения этой концепции рассмотрим выполняемый N раз опыт, имеющий четыре возможных исхода, считающихся элементарными событиями А, В, С, D. Пусть событие А случается NA раз, а события В, С, D — NB, Nc и ND раз соответственно. Ясно, что
Na + Nb + Nc + Nd = N. (1.1)
Теперь определим относительную частоту г (Л) события А как
г (А) = NJN.
Из выражения (1.1) следует, что
r{A) + r(B) + r(C) + r(D) = 1. (1.2)
Представим, что число N неограниченно возрастает. В этом случае наблюдается явление, называемое статистическим упорядочением, и относительная частота г (А) все меньше варьируется и приближается к какому-то постоянному значению Р (Л), которое и может считаться вероятностью элементарного события А, т. е.
Р (Л) = lira г (Л).
iV-»oo I1-13/
Из приведенных выше соотношений следует, что
Р (Л) + Р (S) + Р (С) + Р (?>)+•--+Р(М) = 1, (1.4)
и можно сделать следующее заключение: сумма вероятностей всех взаимно исключающих (несовместных) событий, которые могут наступать в результате данного опыта, должна равняться 1.
Сформулированные понятия можно свести к ряду положений:
1) 0<Р(Л)< 1;
2) Р (Л) + Р (В) -\-----(- Р (М) = 1 для полного набора вза-
имно исключающих событий;
3) вероятность невозможного события равна нулю (например,
