Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
а четырехкратного выпадения
Р (4) = ( 4 ) (1/2)4 (1/2)° = 1 (1/16) 1 = 1/16.
Следовательно, искомая вероятность будет равна
Р {Выпадение решетки не менее 2 раз} =
- Р4(2) + р4 (3) + р4(4) = 3/8 + 1/4 + 1/16 = 11/16.
Для задач такого типа легко получить общие выражения, но при этом возникает несколько различных ситуаций. Приведем для них соответствующие выражения:
Р {Событие А произойдет в п опытах менее k раз} = S Рп(0>
1=0
tl
Р {Событие А произойдет в п опытах более k раз} = J] pn(i),
i=k+1
k
Р {Событие А произойдет в и опытах не более k раз} = 2рп(0>
f=0
П
Р {Событие Л произойдет в п опытах не менее k раз} = рп(г).
i—k
В заключение дадим оценку вероятностей рп (k) при больших k. Поскольку вычисление биноминальных коэффициентов и возведение в большие степени р и q в таких случаях связано со значительными трудностями, часто приходится искать хотя и приближенные, но зато упрощенные способы выполнения расчетов. Одно такое приближение, называемое теоремой Муавра—Лапласа, используется, если npq > 1, a \k — пр | < (npq)u2. Соответствующее выражение записывается следующим образом:
рп № = ( 1 ) PkQn~k ^ (2nnP<lTU2 ехР {k ~ npf/2npq}. (1.30)
Дополнительное значение этой теоремы станет ясным при рассмотрении в следующей главе понятия непрерывной случайной величины. Пока же стоит привести простой пример, иллюстрирующий применение этой теоремы в случае дискретного множества исходов опытов. Пусть монету подбрасывают 100 раз и хотят определить вероятность выпадения решетки k раз (пусть k = 50). Поскольку р = q — 1/2, п = 100, из (1.30) получим
рп (k) да (50л)->/2 ехр {— (k — 50)2/50}
для k от 40 до 60. Ясно, что вычисления с помощью последней формулы выполнить много проще, чем искать биномиальный коэффициент ^°) Для такого k.
Упражнение 1.10.1. Пару игральных костей бросают 8 раз.
а) Найдите вероятность выпадения числа 7 точно 4 раза.
б) Найдите вероятность выпадения в двух испытаниях суммы очков 11.
в) Найдите вероятность того, что сумма очков 12 выпадет более одного раза. Указание: Вычтите из единицы вероятность события {сумма очков 12 выпадает 1 раз или вовсе не выпадает}.
Ответы: 0,0613, 0,0193, 0,02605.
Упражнение 1.10.2. Из одной ЭВМ в другую необходимо переслать файл объемом 8000 символов. Вероятность ошибки при передаче символа составляет 0,001.
а) Определите вероятность безошибочной передачи файла.
б) Используя теорему Муавра—Лапласа, вычислите вероятность того, что в переданном файле окажется ровно 10 ошибок.
в) Определите, какова должна быть вероятность ошибки при передаче одного символа, чтобы вероятность передачи всего файла без ошибок составляла 0,99.
Ответы: 3,341-Ю”4, 0,1099, 1,256-Ю"6.
ЗАДАЧИ
Первые две цифры номера каждой задачи совпадают с номером раздела, в котором рассматривается соответствующий материал.
1.1.1. Между выходными клеммами шестиэлементного аккумулятора с номинальным напряжением 12 В последовательно с амперметром включен резистор, на котором указано номинальное сопротивление 6 Ом.
а) Перечислите все параметры этой цепи, которые могут считаться случайными.
б) Найдите диапазон показаний амперметра, если напряжение аккумулятора может принимать любое значение между 10,5 н 12,5 В, реальное сопротивление резистора может отклоняться от номинального на ±5 %, а точность показаний прибора составляет 2 %. Сопротивление обмотки последнего не учитывайте.
в) Перечислите для этой цепи все параметры, которые нельзя считать случайными.
1.1.2. При определении статистических характеристик текстов на русском языке обычно считают, что алфавит состоит из 32 букв, а промежутки между словами рассматривают как печатный знак. Знаки препинания, как правило, при этом не учитывают.
а) Подсчитайте, сколько раз каждый из символов встречается в тексте настоящей задачи.
б) На основе полученных данных определите, какие два символа имеют наибольшие вероятности появления в текстах, а какой (или какие) — наименьшую.
1.2.1. Перечислите все возможные исходы и укажите, являются ли они равновозможными для следующих случайных опытов:
а) подбрасывание двух монет;
б) рассмотрение последней цифры телефонного номера, взятого наугад из справочника,
в) рассмотрение суммы двух последних цифр телефонного номера, взятого наугад из справочника.
1.2.2. Укажите, являются ли элементарными перечисленные ииже события:
