Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
р*. (г. *> (о=2 П т - »п) П [1 - п* - *,)!, (25.2)
С 1=1 5=1
S^Si
где С—любое сочетание (s,, st, ..., s*) no k чисел ряда
(1,2,_____г) и где суммирование производится по всем таким
сочетаниям.
По формуле полной вероятности мы имеем
р *м=*2Рг(г» *)р*,<г. *>(*),
Л л
где по г мы должны суммировать от ft до оо, а по А интегрировать по области Dr. Поэтому мы находим в силу (25.1) и (25.2)
Подынтегральная функция здесь, очевидно, симметрична относительно переменных л:,, xt, ..., хг. Интеграл поэтому не изменится, если в определении области Dr мы заменим порядок xx<^xt<^.. .<^хг переменных интеграции любым другим порядком; а так как всех таких порядков возможно г! и так как соединение всех получаемых таким образом областей Dr дает r-мерный куб Кг [0 < xt <[ t, /=1,2, ..., г], то мы можем интегрировать по всему этому кубу с последующим делением на г\. Таким образом, мы получаем
p*(o=«-uEП^-*»>П firs* С Кг 1=1
— F(t — х,)] dxt...dxr.
Здесь интеграл по кубу Кт распадается на произведение г простых интегралов и равен
t t
F{t-u)du }*{J [1
О О
= {$ ^(*)*}*{J [1 -F(z)}dz}r~*.
о О
Полагая
00
J F(z)dz=e(t), t
мы имеем
t Г
I F(z) dz= 1 — е (0, J [1 — F(Z)] dz=t— 1 + 8 (/),
О 0
и следовательно ^ так как число сочетаний С равно
СС
Р* (*> = Z Я ( '* ) t1 - 6 WH*- 1 + »(0Г*=
г=к 1
='я —8 W]*Z !гЬщ -1+• wr*=
. г—к '
= e~u jg. [1 — в (*)]* е>-1*-»+*«И =
Так как е(f)—>0 при t—>oo, то отсюда
HmP*(0 = «-‘gr (* = 0,1,2,...),
t-*Vj
что и требовалось доказать*).
Глава 8 ЗАДАЧА ПАЛЬМА
§ 26. Постановка задачи
Для решения задачи Эрланга в гл. 6 и 7 нам было безразлично, рассматривается ли данный пучок линий как упорядоченный или нет. В настоящей главе, напротив, мы будем иметь дело с задачей, которая имеет смысл лишь для упорядоченного пучка. Мы будем, таким образом, все время исходить из предположения, что линии данного пучка перенумерованы и что каждый поступающий вызов занимает линию с наименьшим номером из числа тех, которые свободны в момент его поступления. Очевидно, что при таком порядке
*) В этом доказательстве мы неявно предполагали, что поток вызовов начинается с момента 0, т. е. что Р0 (0) = 1, Р*(0)=0 (к > 0). Доказательство лишь немного усложнилось бы при произвольных начальных данных.
средняя загруженность будет различной для различных линий: наиболее загруженной окажется первая линия, за ней вторая, и т. д.
С другой стороны, задачи, рассматриваемые в настоящей главе, таковы, что уже по смыслу их постановки безразлично', имеем ли мы дело с конечным или бесконечным пучком; таким образом, это различение, столь важное, как мы видели, для задачи Эрланга, для целей настоящей главы совершенно несущественно.
Во всем остальном мы сохраняем предпосылки предшествующих глав. Входящий поток вызовов мы предполагаем простейшим с параметром Я. Длительности разговоров предполагаются не зависящими ни друг от друга, ни от каких-либо данных о поступлении вызовов и распределенными по показательному закону со средним значением 1.
Условимся обозначать через Lr линию с номером г. Для всёх рассуждений настоящей главы имеет основное значение тот простой и самоочевидный факт, что совокупность линий Lt, ..., Lr (при любом г, не превосходящем общего числа линий пучка) мы можем рассматривать как самостоятельный полнодоступный пучок. Каждый вызов, «потерянный» на этом пучке (т. е. заставший первые г линий занятыми), поступает на линию Z.r+1 (если, конечно, таковая имеется), и обратно — для того, чтобы вызов поступил на Lr+1, необходимо, чтобы он был потерян на пучке (?„ Lt, ..., Lr). Вероятность потери на этом пучке есть доля времени, в течение которой все линии Z.,, Lt, ..., Lr заняты; она, очевидно, совершенно не зависит от того, существуют ли еще линии с более высокими номерами и сколько таких линий; оиа может быть вычислена по формуле Эрланга для вероятности потери на пучке из г линий и равна
В частности, при / == 1 мы получаем для вероятности потери вызова на линии Z., выражение
К
г\
К
1+Л *
(26.1)
а при г=2 — для вероятности потери на пучке Lt) выражение
• (26-2)
Но потерю вызова на пучке (L„ Lt) мы можем рассматривать как двойное событие: 1) потеря на Z., и 2) потеря на Lt. Вероятность первого из этих событий равна А,/(l-j-Я). Чтобы найги условную вероятность второго события при условии, что первое состоялось, заметим, что это есть вероятность потери на для вызова, потерянного на Lt (или, что то же, поступившего на Lt). Если обозначить через V интенсивность потока вызовов, поступающих на Lt, то искомая условная вероятность второго события будет поэтому по формуле (26.1) равна А,'/( 1 —J— X') (так как для этого потока Lt служит первой линией). Но X' есть число вызовов, теряющихся на Lx в единицу времени; так как поступает на L. в единицу времени X вызовов, а доля потерь составляет л/(1-|~Я), то
