Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 34

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 71 >> Следующая

умножим обе части на е~*х и проинтегрируем по л: от 0 до оо. Это дает
ОО X
¦,(*)=V* (О — S *~Ud* J(i — *"*>ФД*—*)лр,-,(*) =
о о
оо оо
= ¦,-! (*) — S ('1 — О е~!‘ d(fr-.Wj е~* iX~Z) Фг (* ~Z)dX = О г
00 СО
(о—S о—*iv-» w S e~ty у* оо ау=
о о
00
—¦л-ЛО—(1—0*"**<*ф,-1(*)- (ЗОЛ)
Интеграция по частям легко дает 00
S e-ztd(fr_, (*) = — 1 +%_,(*),
и, следовательно,
со
О
поэтому из (30.1) мы получаем
Ч>, 10=Vi W - 1v(0 (<V, (0 — (/+!) (< +1)],
откуда . ...
^ w=1+<¦,.,(« - (V+1) , (/+1) • (30-2^
Таким образом, для определения функций ifr(/) мм получаем простую рекуррентную формулу. Так как <pe(jt) = e->*, то
(I
и соотношение (30.2) позволяет последовательно определить все функции i|),(0. В частности, мы непосредственно видим, что все эти функции рациональны. Однако мы не можем удовлетвориться этим, так как для обратного перехода к функциям <pr(x) нам важно более детально знать свойства рациональных дробей >r(t). В частности, для этого обратного перехода существенное значение имеет разложение функций грг(0 на простые дроби и, следовательно, природа и расположение корней их знаменателей. Этими вопросами мы и должны будем теперь заняться.
Заметим еще, что простым преобразованием искомых функций
*М*) = ХД0 (г = 0, 1,2, ...)
мы можем привести рекуррентные формулы (30.2) к более краткому виду:
v ______________Xr-i(fl .
ХЛ1+Хл-. О)-Хл-, (' + !)’
впрочем, в дальнейшем мы этим замечанием пользоваться не будем.
§ 31. Определение функций г|), (t)
Обозначим через Br(f) (га=— 1,0, 1,2, ...) многочлен степени г 1:
вг(/)=Г+1 + ? (Г| 1)/(/+1)...(/ + г —/)Х',
/ = 0
— 1
где 2 =0> и следовательно, /?_,(/) = Я® = 1.
1=0
Лемма. Многочлены Br (t) связаны рекуррентной формулой
B,(0 = /Br.1V+»)4-^,.,W (г = 0, 1, ...) (31.1)
Доказательство. Мы имеем r-t . .
Xflr_t(0 = X,+,+? ( \ )/(/+1) ... (t + r— 1-/)Я'+1;
/=о
/-1
*fir_t(< +!) = *' + ? ( / )<(*+1)...(* + г —/)Я* =
/=о
= Е ( /)^(^+1)...(<+г-/)Яг.
Так как (;) = (' + !) и, при /> 0, ( , ' ,) + ( ' ) =,-= ('|!). то отсюда
ЯВ,_, (*)-J- <#,_,(<+ 1) =
=я,+1 -j- )<(<+1)...(<+/¦—/)Я,4_
1=1
+ (Г0 )tV+\)...(t+r) =
=Я,+1-{- s(rt,)^<+» •••(< + '¦—ЛЯ'=Вг(0, / — 0
что и доказывает лемму.
Теперь мы можем найти явное выражение для рациональных функций ^ (<).
Теорема.
(* = °, 1,2, ...). (31.2)
Доказательство. Так как B_t(f) = l и, как легко видеть, ??0 (/) = / +X, то при г=0 доказываемое соотношение (31.2) имеет вид:
4>.м-=грс.
и было нами установлено уже в § 30. Допустим поэтому, что г У 0 и соотношение (31.2) уже установлено для ¦фг_1 (/). Убедимся, что оно остается справедливым и для г|), (I); этим, очевидно, теорема будет доказана.
В силу принятого допущения мы имеем
, «г., «4-1) (f + l)Br_,(f + 2)
KrV)
где
К (0=Вг_ л {t-1-1) вг_х (0 + iBr_t (t +1) вг_ t [t+1) _
— (<+ *>¦вг-г (< + '2) Br_,(*). (31.3)
Поэтому в силу (30.2)
,b <л —Вг-1«4-1)Дг-.(0Вг-1« + 1)
— Kr(t) —
_Br_t(t + \)Br_At + i)
~~ MO
Подлежащее доказательству соотношение (31.2) поэтому равносильно соотношению
*,(<) = *,(<)*,-,(< + 1),
которое в свою очередь в силу (31.1) равносильно соотношению
кг (0=tBr.x (/+ 1) Br.t (/+ 1) + lBr_t (0 B,_t (/+ 1); подставляя вместо Kr(t) его выражение (31.3), мы находим,
что доказать надо следующее равенство: пг .1 {t +1) а,_, (о—(/¦+1) Br.t (t+2) вг.г (о жт
=Щ_, (о в,.,«+!),
или
вг.1 (*¦+ ')¦¦= (<¦4- »)¦»г-, (<¦+ 2)'+ Щ-t (<¦+1 )•
Но это соотношение мы непосредственно получаем, заменяя в рекуррентной формуле (31.1) г на г—1 и / на #-|-1. Таким образом, наша теорема доказана.
Мы видим, что каждая функция ^г(/) представляет собой правильную рациональную дробь, числитель которой есть многочлен степени г, а знаменатель — степени г -f-1.
§ 32. Разложение функций {t) на простые дроби
Чтобы определить функции <р, (х), лапласовскими преобразованиями которых служат функции г|), (t), мы должны теперь посмотреть, как рациональные функции г|), {t) разлагаются на простые дроби, и с этой целью исследовать корни многочленов Br (t), служащих знаменателями этих рациональных функций.
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed