Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Эти замечания позволяют легко найти асимптотические выражения переходных вероятностей Pik (т) при т—*-0. Прежде всего, если | г — k | > 1, то переход из состояния I в состояние k требует, очевидно, наступления по меньшей мере двух элементарных событий; поэтому в силу вышесказанного при т—*¦ О
р,*(т)^0 (| /— А|> 1). (20.1)
Далее, для перехода из состояния k<^n в состояние k -f-1 требуется либо наступление одного вызова, либо наступление более чем одного элементарного события; поэтому в силу вышесказанного при т—>О
Р*. *+.(t)=A,t (0<*<л).
Чтобы система перешла из состояния t>0 в состояние k — 1, требуется либо освобождение одной из линий, либо наступление более чем одного элементарного события; так как вероятность освобождения одной из k занятых линий за время т при т—*-0, как мы видели выше, = kx, то мы находим
Р*.*-»^)58** (0<*<л).
Наконец, в силу (20.1) мы имеем при т—>-0
Р Р*. *+i Р*, а-t (*) (0 < k < л),
где при k — n второй, а при k—О третий член правой части надо заменить нулем; это дает
Р„(т)=5=1 — Ят;
Рй*(т)=!г1—Ат—kx (1 —1);
P»»(T)=sl— пх.
Таким образом, для всех вероятностей Plk (т) нами установлены очень простые асимптотические выражения с точностью до величины вида о(т).
Теперь мы обратимся к уравнению (18.3), в силу которого при любом постоянном t^O
Р* (*+*>-? р, (О Р*м.
Применяя к вероятностям Р,А(т) в правой части этого равенства найденные нами асимптотические оценки, мы находим
Р. (* + т) = Р, О) Р.. (т) + Р, (0 Р1в (т) + о (т) =
= (1 - %х) Р, (/) ~'гтРх (0 + о (т);
PftU + t) = Pft.l(0P*.I,*(T) +
+ Р* (0 Р«(т) + Р*+,(0 Р*+,, *(t) + о( т) = = Ьт Р*_, (0 ¦+11 - *т) Р*(0 + (А +1 * Р*+1 (0+® W
(О < Л < л);
Р» (* + T) = P»-i(0 Р»-1.«(т) + Р„ (О Р„„ (т) + о (т) =
=^ТР»-110 + 0 — Л*)Р„ (0 + о (Т).
Отсюда
==-X Р, (/)+Р, (0+о (1);
p^+V—> = кр>-.<*>-(*+* W)+
+ (*+1)Р*+.(0 + о(1) (0 <*<л); Рп(< + Т]~—- = ХР„.,(/) - лР„(0 + о(1).
Если мы заставим теперь т стремиться к нулю (сохраняя t постоянным), то убеждаемся в существовании производных всех функций Pk(t) (k —0, 1, ..., л) и находим в пределе
рло^-ярдо+рло; Р* (0=АР*-,(0-(Ч-*) Р*(*ЖЧ-1)Р*+,(0 (0<*<л); Ш Р» (0=^Рв -1(0—л Рв(0*
Система л+1 уравнений (с?) с л+1 неизвестными функциями Р*(0{к—0,1, ..., п) называется системой Эрланга. Так как все уравнения этой системы однородны, то искомые функции содержат произвольный постоянный множитель, который может быть определен из очевидного «нормировочного» условия
Как мы уже говорили, нам нет надобности искать решения системы дифференциальных уравнений (<$*). В § 19 мы
доказали, что для любого А: (0 < ? с я) существует предел limP* (/)=/>*.
(-*¦ оо
Отсюда следует, что правые части всех уравнений (^) при t—*-оо имеют пределы. Переходя к левым частям, мы видим, что все производные Р*(/) при i—юо стремятся к пределам; но такой предел может быть только нулем, так как, если бы какое-нибудь Р*(/) стремилось к числу, отличному от нуля, соответствующее |Р*(/)| при t—>» возрастало бы безгранично, что (независимо от реального смысла величин Р*(/) как вероятностей) невозможно уже в силу
теоремы Маркова. Таким образом, мы приходим к выводу,
что
Р* (0 —> 0 (t—*oo) (0 <Л<л),
вследствие чего система (?) в пределе при t—> оо дает
— *-р.+р,=о; л
V*-, —(Ь + *)Р* + (*+1)Р*+1 = °(0<А<л); [ (20.2) V»-,— пр„==0. )
Эта простая система линейных уравнений вместе с нормиро-
П
вочным условием может служить для однозначного
к—о
определения искомых чисел рк.
Если положить
V*-, — kPk=zk U < * <«). система (20.2) может быть записана в виде
*« = °. ** — **+. = ° (° <*<«)» *. = 0, откуда zk—0 (1<6«^/г); это же дает %
Pk=jPk-x (><*<4 и, следовательно,
%к
Применяя нормировочное условие, находим
и, слог, лвательно.
п),
(20.3)
Формулы (20.3), называемые обычноформуламиЭрланга, полностью решают поставленную нами задачу. В частности, вероятность «потери» дается формулой
Полезно отметить, насколько решающую роль во всем проведенном исследовании играла предпосылка о показательном распределении длительности разговоров; только при этом допущении процесс N (t) становится процессом Маркова; при отказе от этого допущения все развитые нами в § 19 и 20 методы становятся принципиально неприменимыми. В специальной литературе имеется целый ряд попыток доказать, что формулы Эрланга остаются в силе и при любом другом распределении длительности разговоров. Однако, насколько мы видим, эти попытки не привели до сих пор к сколько-нибудь законченным результатам*).
