Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Для всех задач, которые мы будем рассматривать, безразлично, является ли данный пучок линий упорядоченным или нет. Входящий поток вызовов мы будем всегда предполагать простейшим с параметром А,. Вызовы обслуживаются
в порядке их поступления. Длины разговоров всегда будут мыслиться независимыми как друг от друга, так и ог течения потока вызовов. Что касается закона распределения этих длин, то именно он составляет собой основной момент различия в задачах теории систем с ожиданием. Обычно бывает так, что при различных распределениях длин разго-воров к исследованию времени ожидания приходится подходить различными методами. В настоящей главе мы рассмотрим самый простой случай, когда длины / разговоров подчиняются показательному закону
Р = *^>0. Р^>0— постоянная.
Для этого случая полное решение задачи было дано еще Эрлангом [7].
Условимся обозначать через Р*(0 вероятность того, что в момент t система находится в «состоянии А», т е. имеется всего k «наличных» (говорящих илн ожидающих) вызовов. При А^я занято k линий, ожидающих нет; при А^>я все я линий заняты и имеется А— я ожидающих.
Если А<[я, то мы Н'.ходимся в тех же условиях, что и в случае систем с потерями, так как при А<^я нет ни потерь, ни ожиданий. Все соображения, приведенные нами в § 20, поэтому остаются в силе и, как там, приводят нас к системе уравнений
p;(f)=-*P0W + PP,W;
Pi (#) = КРк_, (0 - (А, + Ар) Рк (/) + (*+!) рРА+1 (0
(0<А<я)
[ср. (^*) § 20, где мы полагали Р=1]. Но последнее уравнение системы (^) должно быть теперь заменено другим, так как теперь возможен переход в состояние я из состояния я-|-1> которое не имело смысла в случае системы с потерями.
Проведем общее рассмотрение для любого А ^ л. Будем, как прежде, обозначать через Р„(т) вероятность перехода системы из состояния г в состояние s за время т и понимать знак «г как равенство с точностью до бесконечно малых вида о(т) при т—*0. Тогда мы легко находим, аналогично § 20, при А^я и т—>0
Р*-,,*(т)^т, Р*+1,*(т)*=лрт;
^-Хх — гфх, PiJk(T)==0 (\i — А|>1)
[отличие от случая k<^n состоит в том, что теперь мы имеем Р*+,,*(т) =г л0т, а не = (As 1 > рт, как прежде, так как при k ^ л в состоянии k-\-\ мы имеем л, а не k 41 занятых линий]. Эти оценки с помощью рассуждений, в точности аналогичных проведенным нами в § 20, приводят к соотношению
Р* (*4 т) = Р* -j V) Хт 4 Рк (0 (1 — Хт — лрт) 4 Рк+1 (t) лрт,
откуда мы, снова в тесной аналогии с рассуждениями § 20, получаем с помощью предельного перехода
Р* (0 = “ (*+»Р) Р* W + ярР*+1 (0 (k 3* л).
Таким образом, в целом система (<^) § 20 теперь заменяется (бесконечной) системой уравнений
Pi(0=-*P.W4PPiW; )
р; (t)=хр*_г (о -1*4*р) р* (о+(к41)ррд+1(о
(0<?<л); I (34.1)
р; (t)=хр*. t (0 - (X 4 лр) рк (0+лрр*+1 (о
(k Зг л).
Как и в случае систем с потерями, мы принимаем в качестве вероятностей состояний пределы, к которым стремятся вероятности Р*(0 при t—»-оо. В случае систем с потерями мы доказали во всей полноте существование этих пределов [теорема Маркова, § 19]. В случае систем с ожиданием [т. е. в случае уравнений (34.1)] такое доказательство также может быть проведено; однако здесь оно несравненно более сложно и требует существенно новых идей, так как метод Маркова тесно связан с предположением конечного числа возможных состояний системы. Мы не можем поместить этого доказательства здесь и вынуждены ограничиться ссылкой на его возможность *). Необходимо еще отметить, что в нашем новом случае мы, кроме существования пределов величии Р*(*) при t—*• op, должны еще доказать возможность предельного
*) Мы не знаем в литературе ни одного изложения этого доказательства, хотя сама задача рассматривалась приводимым здесь методом много раз (Эрлаиг [7], Фрай [4], Колмогоров [2], Фел-лер 13]). Эрланг вводит возможность предельного перехода как особый постулат; все остальные упомянутые авторы ограничиваются кратким указанием на возможность доказательства.
перехода во всей системе (34.1) — вопрос, который в § 20 у нас не возникал, так как там мы имели дело с конечной системой уравнений.
Итак, мы допускаем, что при t—*- оо существуют пределы
lira Р* (/)=/>* (*=0,1,...)
t -too
и что соответствующий предельный переход возможен одновременно во всех уравнениях системы (34.1). Так как при этом левые части всех этих уравнений в пределе обращаются в нуль (это доказывается в точности так же, как и в § 20), то мы приходим к системе линейных уравнений
%рк_,— (А--(-ЛР)р4-(-(Л+l)Ppft+, = 0 (0<?<л); 1(34.2)
ЬРк-х — (*- + ¦«P)Pft + «PPft+. = ° (*>«). J
из которой, в соединении с нормирующим условием
мы и должны определить числа рк.
Полагая
ЬРк-i — k$Pk=zk (1<Л<л), мы легко находим из системы (34.2)
2, = 0, zk — zk+l = 0 (1<?<Л),
откуда
гк==0 (0 <*<л),
