Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
н
Ф (^, JC) = G (/, лг> (<, дг>,
вследствие чего
и уравнение (22.1) равносильно уравнению
(22.2)
Положим теперь
(лг— 1 )e-f = L(t, лг) и составим функциональный определитель
где R— произвольная дифференцируемая функция своего аргумента. Для искомой функции Ф мы отсюда находим выражение
ф(/, *) = «х«*-•>“-•¦*>Я[(ж — 1)*-']. (22.3)
Это — общее решение уравнения (22.1). Для решения нашей задачи мы должны с помощью начальных данных определить вид функции R.
§ 23. Решение задачи Пусть в начальный момент 1=0 мы имеем
Р*(0)=ак (*=о, 1, ...);
в частности, если известно, что при t = 0 система находится в состоянии I, то а(— 1, ак=6 (k=?i); во всех случаях
ОО
Д] а*=1. Полагая тогда t = 0 в выражении (22.3) функции Ф(/, х), мы находим
Ф (0, *) = SP* (°) **=2 «***=Я (х — 1),
к=о *=о
откуда
Ж*) = 2 «*(*+!)*•
о
В частности,
/?[(*- 1)е-‘]=2 ak[\ + (х- i)e-*]\ (23.1)
*=0
и для производящей функции мы получаем уже окончательное выражение
ф(*. *) = </<*-i)<i-e-*> 2 а*[1 + (* —
*=0
Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь этим выражением, найти пределы вероятностей Р*(0 при t—к».
Как показывает соотношение (23.1), величина R [(х — 1) e~f] может быть представлена в виде (сходящегося при О,
*) Этот ряд заведомо сходится при <^0, |*1^1. В самом
деле, легко убедиться, что при этих условиях и 11 +(* — 1)е~*|^ 1.
| х | ^ 1) ряда по степеням х:
r[(x- 1) «-*]=;§ мо**.
Л=о
Убедимся теперь, что при t—>-оо мы имеем *.(0 — 1, МО—0 (*>0).
В самом деле, в силу (23.1)
У МО**=Я[(*~!)«"*]=2 М*в~* + 1 — (23.2)
«=« tso
так как ак^0, е-,^>0 и 1—е~*^0, то сравнение левой части с правой прежде всего показывает, что все МО^О. Далее, полагая в этом равенстве х=0, мы находим
МО=2 Mi-‘-V,
* = 0
откуда при t—юо
М0-2«*=1;
*= о
наконец, полагая в (23.2) х=\, мы находим при любом
2 **(0=2 «*=!>
Й=0 *=0
откуда в силу предыдущего МО—>О (fe^>0, /—»оо), и наше утверждение доказано.
В силу (22.3) мы теперь имеем
Ф (^ *) = 2 Л, (0 *" = # [(* — 1)V “ -в_ *>=
п=0
-Ё*»(ЧЛ->...........'.faL=nv.
к—О г= О
откуда
Если теперь при фиксированном п заставить t безгранично возрастать, то, как мы видели выше, bt(t)—> !, bk(t)—>-0 (ft^>0), а потому
. \tt
Pn(i)-+*—во, л=0, 1, 2,
что полностью решает поставленную задачу. Мы приходим при этом к тем самым формулам, которые мы в начале § 22 в порядке гипотезы получили предельным переходом из формул Эрланга для конечного пучка.
§ 24. Поток с переменным параметром
Методы, изложенные нами в §§ 22 и 23, позволяют легко решить задачу Эрланга для бесконечного пучка и в том случае, когда параметр поступающего потока вызовов меняется с течением времени. Мы уже имели дело с этим случаем в § 5. Будем в дальнейшем и здесь обозначать через А. (О «мгновенное значение» параметра в момент t, определяемое формулой (5.1).
Так как уравнения системы {<?*) § 22 имеют чисто локальную природу (относятся к некоторому определенному моменту времени i), то проведенный нами вывод этих уравнений остается в полной силе н в случае переменного параметра, только на место постоянного к становится «мгновенное значение» %(i) этого параметра, вообще говоря, различное в различные моменты времени t. Таким образом, в качестве исходной системы уравнений для определения функций Рй (t) мы имеем
р:(0=-М#)Р.(0 + РгЮ; )
p;w=mop*-,w-im*)+*]p*w-I- [ (24.1)
+(*+i)P*+,W (*>0). J
Полагая
ф(*. *)=2р*(0*\
kss о
мы из системы (24.1) в точности как в § 22 находим для производящей функции Ф (*, х) уравнение с частными производными
*§ + (х-\)<§-т(х-\)Ф=0, (24.2)
отличающееся от уравнения (22.1) только тем, что на месте постоянного параметра А, стоит теперь функция А,(/). Это отличие, несущественное для вывода уравнения (24.2), в значительной мере влияет на его решение, заставляя нас обратиться к другой замене искомой функции.
Положим во всем дальнейшем t
е~{ J (и) du = A (0;
Ф
e(*-,>A(l)_Q(^, х).
Ф (t,x) = G(t,x)F(t,x),
где F{t, х) — новая неизвестная функция. Производя эту замену в (24.2), мы легко находим для функции F(t, х) уравнение
dF . , t.dF л
в точности совпадающее с уравнением (22.2). В § 22 мы видели, что общим решением этого уравнения служит
