Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
*) Вскоре после опубликования этой работы сам А. Я. Хин-чин (см. «О формулах Эрланга в теории массового обслуживания», стр. 199) в Б. А. Севастьянов («Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным задачам с отказами», Теор. вероят., т. 2, вып. 1, 1957, стр. 106—116) доказали его утверждение.— Б. Г.
п!
§ 21. Эргодическая теорема
Любая вероятность в любой теории получает реальный смысл лишь в том случае, если известна реальная совокупность объектов, в которой эта вероятность интерпретирует собой долю того или другого признака. Каков же реальный смысл тех вероятностей pk, которыми мы занималась в последних параграфах? Что означает, в частности, «вероятность потери» рп7
В подавляющем большинстве специальных исследований реальная интерпретация этих вероятностей носит один и тот же вполне определенный характер: их истолковывают как средние относительные времена пребывания системы в соответствующих состояниях. Это означает следующее. Обозначим через xk{t) величину, равную 1, если система в момент t находится в состоянии k, и равную О в противном случае. Тогда интеграл
г
О
представляет собой суммарную длину тех промежутков времени (между 0 и Г), в течение которых система находится в состоянии к, а отношение
г
Xk{f)dt
•
дает нам среднее относительное время пребывания системы в состоянии k (за промежуток времени (О, Г)). Под вероятностью рк застать систему в состоянии k понимают тогда предел
г
llm 4 Г х* (/) Л. (21.1)
Т-+со О о
Представляется, однако, очевидным, что определенные нами в предшествующих параграфах величины pk непосредственно не допускают подобного истолкозания. Это видно уже из того, что величина xk(t) представляет собой с принятой нами точки зрения случайную функцию (случайный
процесс), а следовательно, предел (21.1) (если он существует)— случайную величину, которая поэтому не может отождествляться с вероятностью рк, по сущности своей, не зависящей от случая. С другой стороны, вероятности рк нами определены как пределы при t—> оо вероятностей Pk(i); если все вероятности понимать как средние времена пребывания системы в том или ином состоянии, то величины Рл(0 не допускают, как легко видеть, никакой разумной интерпретации.
Таким образом, избранное нами определение вероятностей рк, а также и развитый нами метод их вычисления непосредственно не дают никаких оснований для отождествления их с пределами вида (21.1) вопреки установившейся во всей прикладной литературе практике. Если это отождествление невозможно, то все же с практической точки зрения иргдставляется весьма желательным найти соображения, позволяющие с известным основанием считать интегралы
г
Xk(f)=±§xk(f)dt
О
при больших значениях Т хотя бы приближенно совпадающими с определенными нами вероятностями рк; если бы это удалось, то такое сближение в значительной степени оправдало бы общепринятую в специальной литературе практику понимания вероятностей рк как средних относительных времен пребывания — практику, очень удобную в прикладных задачах.
Так как Xk{t) есть с нашей точки зрения случайная величина, то близость ее к не зависящей от случая величине рк при самых благоприятных обстоятельствах может утверждаться лишь с некоторой (достаточно большой) вероятностью. В настоящем параграфе мы докажем предложение, идущее в указанном направлении так далеко, как только можно было бы надеяться; именно, имеет место
Теорема, как бы мало ни было е^>0,
ИтР{|ЗД-р*|>8} = 0.
Т -* оо
Предварительное замечание. Предложения подобного рода, в которых вероятность некоторого состояния системы, первоначально определенная как доля в большой
совокупности систем одинакового строения, сближается затем со средним временем пребывания в данном состоянии для какой-либо одной системы за большой промежуток времени, в теоретической физике называются обычно эргодичес-кими теоремами. Доказываемое нами предложение представляет собой весьма типичный пример эргодической теоремы.
Доказательство. Во всем дальнейшем начальные данные (вероятности Р* (0), 0 < ? л) предполагаются произвольными, но твердо установленными. Математическое ожидание случайной величины ? мы будем обозначать через М| или мш- Так как величина xk(t) может принимать значения 1 и 0 с соответственными вероятностями Р*(<) и
1-Р*М, то
М**(0 = Р*(0. (21.2)
Так как Р*(0~•’Р* ПРИ *—*• то г
S [Р* (0 — Р*] ^=О (Г) (Т—+оо).
о
Поэтому при достаточно большом Т
т
Р{|*Л7)-рй|>г} = я{|5ЫО-Р*]Л|>вГ}<
О
Г
