Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
/ч/.*)=»я[(*-1)*-Ч.
где R — произвольная дифференцируемая функция своего аргумента. Отсюда
Ф(/, х)=в(*-,>А“>/?[(дс— 1)•”*]. (24.3)
Теперь мы должны определить вид функции R с помощью начальных данных Pft(0)=aft (6 = 0, 1,2, ...). Мы находим, как в § 23,
в*1* + 1)*.
откуда, в частности,
/?[(* — 1) e-'l=2 в* [1 + (* - 1) в-1]*, (24.4)
*=о
где ряд заведомо сходится при / 2* 0, | х | < 1. Отсюда
с помощью (24.3) мы получаем окончательное выражение
производящей функции
Ф(*. *)=«.<*-¦>*“> +(*— 0«¦*!*• <24*5)
В § 23 мы полагали
R [(* — 1) е~*\ (f) хк, (24.6)
и убедились, что при t—юо
МО—1, МО — 0, (*>0).
Эти выводы сохраняют силу и в нашем новом случае, так как новая функция R(z) ничем не отличается от прежней. Мы имеем в силу (24.5), (24.4) и (24.6)
ф (/, «)=|Р» (t)xn=e<x~ *>*“> f. bk (f) х*=
»si к=о
г—о й—о
»SQ Vr=0 /
и следовательно,
п
PAt)=-e-^^^bn.r{f) (л=0, 1, 2, ...).
г=о
Допустим теперь, что при t—»-оо параметр Я(0 остается ограниченным;
М0<Л (<>0).
Тогда и
t
Л(0=е-*5ввМи)</и<Л (<3*0);
О
поэтому для любого постоянного п при t—*-00 в сумме
r=t
все члены, кроме последнего (г=л), стремятся к нулю, в то время как последний бесконечно мало отличается от 1Л(0]"/л1. Поэтому при t—coo и постоянном п
О,
т. е. закон распределения Pn (t) безгранично приближается к закону Пуассона с (переменным) параметром
t
Л (<) = *'* J ettk(u)du. о
Этим поставленная задача решена.
§ 25. Бесконечный пучок при произвольном законе распределения длин разговоров
В §§ 22—24 мы убедились, что для задачи Эрланга бесконечный пучок в известном смысле представляет собой более простой объект исследования, чем конечный (в частности, в § 24 мы до конца рассмотрели случай входящего потока с переменным параметром — задача, которая, насколько нам известно, еще не решена для конечного пучка). В нашем изложении сравнительная простота трактовки случая бесконечного пучка все время связывалась с возможностью применения метода производящих функций; при этом мы ради соблюдения самой тесной аналогии с теорией конечного пучка исходили всегда из системы дифференциальных уравнений Эрланга. На самом деле, задача Эрланга для бесконечного пучка представляет собой чрезвычайно простую проблему, которая может быть решена и вполне элементарными средствами; при этом оказывается, что показательный закон распределения длин разговоров, служивший важной предпосылкой в методе уравнений Эрланга, при элементарной трактовке задачи без существенных усложнений может быть заменен любым другим законом. Ради этого важного обобщения мы и остановимся в настоящем параграфе на элементарном выводе формул Эрланга для бесконечного пучка.
Мы сохраним все предпосылки § 22 с той разницей, что вероятность F(x) для наудачу выбранного разговора иметь длину ии будем предполагать произвольной невозрастающей функцией, подчиненной только требованиям
ОО 00
F(0) = 1? f(4-oo)=»0, — lxdF(x)=^F(x)dx^\t
О о
4 А. Я* Хиичин
из которых последнее выражает собой соглашение принимать за единицу времени среднюю длительность разговора. Будем, как прежде, обозначать через Р*(<) вероятность того, что в момент f^>0 ведется к разговоров (или, что то же,занято k линий). Наша задача — показать, что
lira p,(f) = #-x*L (* = 0,1,2,...).
t-*00 Kl
Пусть X=(xltxt, ...,xr) — произвольный r-мерный вектор, принадлежащий области Dr (0 хл xt xr i)
/•-мерного пространства. Условимся называть гипотезой (г, .Я) событие, состоящее в том, что в промежутке (0, f) происходит г вызовов и моменты */(0<^*, <^tx<^.. .<^/г<^<) этих вызовов удовлетворяют неравенствам
xl<^t,<C,xl-{-dxl (Kt<r).
Так как поток вызовов — простейший с параметром к, то вероятность гипотезы (г, X) с точностью до бесконечно малых высших порядков выражается при малых dxt формулой
Р(г,Х) =
^=%e-^dxx%e-Xix^dxt.. .Xe~X(xr-*r-i'dxre-l«-xr\
где последний множитель есть вероятность того, что между моментами хг и t вызовов не поступает. Отсюда
Р (г, X) = e~xi%r dxx dxt... dxr (25.1)
(и, в частности, не зависит от вектора X). Пусть Р к, (г, X) (0 — условная вероятность застать к разговоров в момент t, если имеет место гипотеза (г, X). Очевидно, Р*,<г,<о(/) может быть отличной от нуля лишь при r^k. Так как для разговора, начавшегося в момент лг (0 х t), вероятность не закончиться к моменту t равна F(t — х), то
