Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 33

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 71 >> Следующая

Отсюда, очевидно, следует, что для упорядоченного полнодоступного пучка с простейшим входящим потоком и показательным распределением длин разговоров поток вызовов, поступающих на любую линию Lr этого пучка, представляет собой поток типа Р. Но такой поток (см. § 13) однозначно
определяется заданием функции Пальма <р (t). Условимся в дальнейшем обозначать через <рг(0 (г=0, 1, 2,...) функцию Пальма для потока вызовов, поступающих на линию Lr+l (так что, в частности, <р0(<) = е"><). Мы видим, что наша задача сводится к определению функции <рг(/) ДДЯ любого 0; этому и будет посвящено все дальнейшее.
§ 29. Вывод основной системы уравнений
Пусть в момент /в теряется вызов на линии Lr (или, что то же, поступает вызов на линию Lr+i). Тогда <рг (i) есть вероятность того, что в промежутке (/„, ни один вызов
не будет потерян на Lr (не поступит на ?,+1). Но это событие может произойти двумя способами:
(Л) В промежутке (/„, t0 -j- /) на Lr не поступит ни одного вызова.
(В) В промежутке ((„, /„ + 0 на Lr будут поступать вызовы, но ни один из них не будет потерян.
Мы имеем поэтому
<р,(0=РИ)+Р(Я);
при этом, в случае r>0, Р (И) = <рг_,(*)» так как, с одной стороны, вызов, потерянный в момент t0 на Lr, был потерян и на Lr_x, а с другой — поток вызовов, поступающих на Lr, совпадает с потоком вызовов, теряемых на
Переходим к определению Р (В). Пусть первый вызов, поступающий на Lr после момента происходит в промежутке (fe -f-х, t9-\-x-\-dx); вероятность этого события равна фг_,(*) — 4V-1 (JC-(-dx)= —</<рг_, (х). Для того чтобы этот вызов не был потерян на Lr, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы линия Lr до момента освободилась от
того разговора, которым она была занята в момент t0; вероятность этого события равна 1—е~*. Таким образом, вероятность того, что первый после момента /0 вызов поступит на Lr в промежутке (/0 —j— je, *e -|- х -j- dx) и что этот вызов не будет потерян, равна
— (!—*-*) rfq>r_,(x).
Мы утверждаем теперь, что если наступило все описанное и если x<^t, то вероятность того, что в остающемся промежутке (tf,-f- х, не будет потеряно на Lr ни
одного вызова, равна ф,(<— х). Это вытекало бы непосредственно из определения функции Ф, (t), если бы вызов, поступивший на Lr в промежутке tt-\-x-\-dx), был
потерян на этой линии; но на самом деле этот вызов по нашему допущению не теряется, так что наше утверждение требует обоснования. Будет ли вызов, поступивший на Lr в момент + * [точнее: в промежутке (*e-\-х, <„ + x-J-dx)J, потерян или нет, во всяком случае, раз этот вызов произошел, линия Lr с момента -|-.v будет занята. Когда она освободится — это в силу показательного закона распределения длин разговоров совершенно не зависит от того, была ли она занята поступившим в момент /0 -]~л вызовом или была занята ранее (и поступивший в момент tn-\-x вызов был потерян). С другой стороны, моменты дальнейших (после <„ + *) поступающих на вызовов зависят от того факта, что такой вызов поступил в момент /0 —J— jc, но совершенно не зависят от судьбы этого вызова (от того, был ли он потерян или нет); не зависят, конечно, от этой судьбы и длины тех разговоров, которые начинаются этими последующими вызовами. Таким образом, ни один из факторов, определяющих собой наличие или отсутствие потерь на LT в промежутка *, + *). не зависит от того, какая судьба
постигла вызов, поступивший в момент t9-\-x. И хотя этот вызов по нашему предположению не был потерян, вероятность того, что в промежутке (^ + x, /, + 0 потерь на линии LT не будет, такова же, как если бы он был потерян, т. е. равна ф/(< — х). Сопоставляя это с тем, что было установлено ранее, мы приходим к следующему выводу: при x<^t вероятность того, что первый после момента /в вызов поступит на L. в промежутке (*в + х, /,+*-{-Лс) и что между и ни один вызов не будет потерян на Ln
равна
_ (1 _ е~х) dyr_ t (х) фг (t — х).
Но чтобы получить вероятность события В, мы, очевидно, должны просуммировать все такие вероятности по х от 0 до t. Это дает
I
Р(?)= — J (1 — е-л)фг(/_*)</фг_.(я),
и следовательно,
t
<М0—Фг -1 (0 — S (1 — «"*) <м< — х) dffr. | (*)
о
(r> 1). (29.1)
Это и есть исходная система уравнений теории Пальма. Из
(29.1) непосредственно видно, что при любом /^>0
Ф,(0>Ф,-»(0
— неравенство, которое является очевидным и само по себе.
§ 30. Преобразование Лапласа
С целью решения основной системы уравнений (29.1) мы теперь заменим искомые функции <pr (/) их преобразованиями Лапласа. Положим
»
W = Se~iXVr (*) dx (г> 0).
о
Напишем уравнение (29.1) в виде
X
ф, (*У= Ф, -1 (*) — S с1— е ~г) ъ (* - d<Pr -,(*)>
О
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed