Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Хинчин А.Я. -> "Работы по математической теории массового обслуживания" -> 32

Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.

Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. — 236 c.
Скачать (прямая ссылка): rabotapomatteoriiobslujivaniya1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 71 >> Следующая

Пг==г + Я,?,_1
Если бы поток той же интенсивности ХЕГ_1 падал на Z.,, то вероятность потери на I, для вызовов этого потока согласно формуле (26.1) была бы
Для доказательства нашей теоремы достаточно поэтому убедиться, что при г^>1 и мы всегда имеем
ТГ^<7ТЩ:7’ или г+*?г-+
или, наконзц,
АЛ,_14"г — -ж— (r> 1). (27.2)
СГ- 1
*) Этот факт доказан в статье Т. А. Азларова «Обобщение одной теоремы А. Я. Хиичина», Труды Ташкент, гос. университета нм. В. И. Ленина, вып. 169, 113—118, 1961.— Б. Г.
1
Пусть сначала г = 2, Er_l=Ei = Тогда (27.2) получает вид
что равносильно
или
_|_2_
1+JC+ X
Т+я~Ь1—’
1+Х
и, следовательно, выполняется при любом Я^> 0.
Пусть теперь неравенство (27.2) справедливо при каком-нибудь г^>1 (и любом Я^>0); покажем, что в таком случае оно останется верным и при замене г на г-j-l, т. е. что при любом Я^>0 будет иметь место неравенство
kEr-\-r +1 — •
В силу (27.1) [помня, что Пг = ?>./?г_1| мы имеем
Е.
ХЕГ.
' г + ЯЕ,_1 ‘ Отсюда легко находим
ЯЕ
:,+л-Н-Ь-±=, =
_ гН,(к)
где
Н, (Я) = lEr.t (ЯEfmx Н- г - Я) - (Щ_л + г) =
= + г - Я —gi-)- (ЯЕ,_, + г - Я) =
= (Я?г_1-1)(Я?г.1 + г-Я)-Я.
Наша теорема будет доказана, если мы убгдимся, чти Нг(Я)<0 при любом Я>0. Положим для краткости
ЯЕг_х — 1 —А, ЯЕг_х-\-г — Я—В,
так что
Нг(к) = АВ—Я.
Мы можем допустить, что АВ^> 0, так как в противном случае тривиальным образом Нг (А,) <[ 0. Если А 0 и 0, то, так как в силу (27.2) В 1 мы имеем
АВ<Ыгй1-1<и
если же В<^ 0, то, очевидно,
И|< 1, |Я|=—А = Х —г —^=И|в|<я..
Таким образом, Hr (X) 0 во всех случаях, и наша тео-
рема доказана.
§ 28. Основная теорема Пальма
Мы убгдились в § 26, что если на линию Z., поступает простейший поток вызовов, то поток, поступающий на линию Z.r(r^>l), уже не будет простейшим. Важнейшая основная теорема теории Пальма состоит в том, что при этом на любую линию Lr поступает поток типа Р, т. е. стационарный, ординарный и с ограниченным последействием. От простейшего такой поток отличается, следовательно, только тем, что требование отсутствия последействия заменяется более общим требованием ограниченности последействия.
Для доказательства этой теоремы нам не понадобится никаких расчетов; достаточно лишь более внимательно вглядеться в картину происходящего. Так как для утверждение теоремы тривиально, то надо только показать, что, если оно верно для Lr, оно остается верным и для Lr+l (г = 1,2,...); а так как вызовы, поступающие на Lr+l, совпадают с вызовами, теряющимися на LT, то мы должны доказать следующее: если на линию Lr поступает поток вызовов типа Р, то потерянные на Lr вызовы также образуют поток типа Р. При такой постановка задачи, очевидно, самое существование линии Lr+1 является несущественным.
Обозначим для краткости через А поток вызовов, поступающих на Lr, и через В — поток вызовов, теряющихся на Lr. Течение потока В после произвольно выбранного момента /0 будет однозначно определено, если станет известно, сколько времени будет еще длиться занимающий линию Lr в момент t0 разговор, а также каковы моменты поступающих после (t вызовов потока А и какова длительность начинаемых этими
вызовами разговоров. Но все эти факторы в свою очередь однозначно определяются течением потока А, который есть поток типа Р и, следовательно, стационарен. Поэтому все перечисленные факторы не зависят от выбранного момента /0, а вместе с ними не зависит от /ф и дальнейшее течение потока В; другими словами, поток В также стационарен.
Ординарность потока В с самоочевидностью вытекает из того, что он составляет собой часть (ординарного) потока А.
Покажем, наконец, что поток В — с ограниченным последействием. Пусть /0 = т0 = 0; обозначим через tl(i= 1,2,...) моменты следующих за t9 вызовов потока А и через г,, г,,...—моменты следующих за t0 вызовов потока В и положим
т* ”гл-|==?а (Л.= 1,2,...).
Наша задача — показать, что закон распределения величины ?k+l не зависит от значений величин ?*, или, что
то же, от значений величин т,, т,,..., хк. Но величина ?ft+I будет однозначно определена, если станут известны:
1) расстояния от т4 до поступающих на Lr после момента хк дальнейших вызовов;
2) остаточная длительность разговора, занимающего линию Lr в момент хк;
3) длительности разговоров, занимающих линию Lr после момента хь.
Все эти три фактора независимы от значений, принимаемых величинами xt, т,,..., хк. Для первого это следует из того, что поток А — с ограниченным последействием; для второго— из показательного закона распределения длин разговоров, а для третьего это самоочевидно. Но так как этими тремя факторами значение случайной величины определяется однозначно, то и эта случайная величина не зависит от величин т„ Tt, ..., хк, или, что то же, от величин ?„ ?„ ... ..., 1к. Но это и означает, что поток В—с ограниченным последействием. Таким образом, основная теорема Пальма доказана.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed