Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Многочлен Br (t) степени г 1 имеет, как непосредственно видно из его определения, положительные коэффициенты, причем коэффициент при tr+t равен 1. Отсюда уже следует, что все вещественные корни этого многочлена отрицательны и что он может быть представлен в виде:
В, if) = (* + art) (t + ап)...(/ + «„),
где числа ariположительны или мнимы. Мы утверждаем, что числа art все положительны и что, если они расположены в порядке возрастания, то
«w>ar,i-. + 1
г. е. расстояние между двумя соседними корнями превосходит единицу.
Докажем это утверждение посредством индукции. Мы уже видели, что ?в(/) = /-]-Х, так что для г=О наше утверждение верно. Допустим, что оно верно для Br (t) (г^О), и покажем, что в таком случае оно справедливо и для
?,+ 1(0* Для этого мы воспользуемся рекуррентной формулой (31.1), в силу которой
ВГ+ 1 (0 “ tBr (* 4* “Ь ^ВГ (0 “
= 1 + вг0). • • (*+1 + агг) 4" ^(*+аго)' •
при этом в силу нашего предположения все ark'^>0 и arft^>ar 1 (l^ft^r). Эта формула (как, впрочем,
и непосредственное определение) показывает, что В,+1(0)^>0. С другой стороны, она дает
вг+Л— «„)=— + 1 — аг.) ••• («„+1 — в,.)<о.
Это показывает, что Br+l(t) имеет корень между 0 и —агл. Пусть теперь k — одно из чисел ряда 0, 1, ..., г—1. Тогда
= К*-, — в,*— 1)Х
X («,* — «г* — !) (вг. *+> — ark — 1) • • • («„ — аГк — 1)
имеет, как легко подсчитать, fc-j- 1 отрицательных множителей и, следовательно, знак (—1)*+1; напротив
&Г+ 1 ( ar, k+l} == ar, k+1 ( аг, ЙЧ-1 "4” 1 ”1“ flro) • • •
• • •(-“ аг, к+1 + 1 + ark) (— ar, А+1 + 1 + аг. *+!)•••
• • -I- ar,k+1 + 1 +urr)
имеет Л-{-2 отрицательных множителей и, следовательно, знак (—1)*. Таким образом, многочлен Br+i (t) для любого k(0^k<^r — 1) имеет корень в промежутке между — агк — 1 и —<*,,*+г Наконец, так как старший член многочлена Bf+l(t) есть f**, то при отрицательных t, достаточно больших по абсолютной величине, 5,+1(0 имеет знак (—1)г+г; в то же время в выражении
ап— !) = M— !+«,.) ••• (—«гг—1+«/г)
все скобки отрицательны, так что оно имеет знак (— 1),+I. Это показывает, что Br+1(t) имеет корень между —arr— 1 и —оо.
Сопоставляя все полученное, мы видим, что многочлен Вту\W имеет по меньшей мере по одному корню в каждом из г -j- 2 промежутков:
10,-ar0), (— ark— 1, —a,>ft+1)(0<A<r—1),
(—a,r— 1, —оо).
которые попарно не имеют общих точек. Так как Br+l (t) есть многочлен степени г-|-2, то этим его корни исчерпаны; а так как рассмотренные нами г-\- 2 промежутков таковы, что расстояние между двумя соседними из них равно единице, то расстояние между двумя соседними корнями многочлена Br+l(t) всегда превосходит единицу. Таким образом, наше утверждение о расположении корней многочленов Br(t) полностью доказано.
Из этого следует, что разложение функции i|>,(/) на простые дроби имеет вид:
ft—о
где числители Сгк легко могут быть выражены через числа агк хорошо известными методами.
§ 33. Заключение
Так как функция - служит, как легко непосред-
* "Г агк
ственно убедиться, преобразованием Лапласа функции Crke~arkX, то функция t|>(<), вид которой мы только что нашли, есть преобразование Лапласа функции
Т
2 Сгке-°г*. (33.1)
fc=o
Но мы определили tyr(t) как преобразование Лапласа искомой функции фу (л:). Можем ли мы отсюда заключить, что фг (х) совпадает с функцией (33.1)?
Теория преобразований Лапласа (в детали которой мы здесь не можем входить) показывает, что среди функций, обладающих данным преобразованием Лапласа, может быть только одна ограниченная и неотрицательная при 0 ^ ле <^—j—оо; а так как функция фг (х), очевидно, обладает обоими этими свойствами, то для ее совпадения с функцией (33.1) достаточно убедиться в положительности этой последней; для этого же в свою очередь, очевидно, достаточно показать, что Crk ^ О (0 ^ k ^ г). В своем цитированном нами исследовании Пальм дает явное выражение чисел Сгк через
числа атк и путем анализа этих выражений действительно докрывает положительность всех коэффициентов Стк. Таким образом, мы имеем для всех г 3*0
и задача Пальма может считаться полностью решенной. Мы видим, что для любого г функция Пальма q>r(*), однозначно определяющая собой поток вызовов, теряемых на Lr (т. е. поступающих иа Lr+l), представляет собой линейную комбинацию г -{“ 1 показательных функций. В частности, Пальм приводит следующее явное выражение для <р, (х):
Г
Ф, (*) = 2 с,ке~а,к* (0 < * < + ОО), *=о
ЧАСТЬ III СИСТЕМЫ С ОЖИДАНИЕМ
Глава 9
СЛУЧАЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛИН РАЗГОВОРОВ
§ 34. Вероятности состояний
Мы обращаемся теперь к изучению полнодоступного пучка с ожиданием. Поступившему вызову приходится ждать разговора тогда и только тогда, когда он застает все п линий пучка занятыми. Поэтому здесь наша прежняя «вероятность потери» (т. е. вероятность застать все линии занятыми) может быть названа «вероятностью ожидания». Эта величина понятным образом играет известную роль в оценке качества работы пучка. Однако для систем с ожиданием эта роль сравнительно невелика, так как, если даже значительному большинству вызовов приходится ожидать, обслуживание должно быть признано вполне удовлетворительным во всех тех случаях, когда промежутки ожидания оказываются в своем большинстве очень малыми. Решающую роль здесь играет не частота ожиданий («потерь»), а природа времени ожидания у как случайной величины; частота же ожиданий дает нам только один штрих этой картины — вероятность неравенства Y^>0. Понятно поэтому, что конечной целью в исследовании систем с ожиданием всегда служит отыскание закона распределения времени ожидания у.
