Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Условимся называть процесс Маркова, характеризуемый переходными вероятностями Pfft (t) (0 «S i «S л, О «S к < я), транзитивным, если существует такое <^>0, что Р«(0^>0 (0</<я, О^б^я). Таким образом, для транзитивного процесса существует такой промежуток времени, в течение которого возможен переход системы из любого состояния в любое другое. Непосредственно ясно, что
интересующий нас процесс N(t) транзитивен, причем в качестве / может быть выбрано любое положительное число.
Теорема Маркова*). Для любого транзитивного процесса Маркова Р/й (/) (0 sg г sg п, 0 sg /г sg л) предел
lim Plk (0 =рл (0 < / sg п, О < k sg л)
<->зо
существует и не зависит от I.
Доказательство. Во всем дальнейшем k будет означать произвольное закрепленное число ряда О, 1, ..., я. Положим
Max Р tk (1) = Mk (0, Min Plk (t)=mk (t).
0 € < € л 0 Sg / Sg /I
В силу (18.1) для любого /(0 t^i^n) и любых /]>0, т>0
р» «+*)=2 ptr (*) Р rk (0 < (t) 2 p,f(tNH*(0,
г=о Г =50
а следовательно,
т. е. Mk(t) есть невозрастающая функция от t. Подобным же образом легко убедиться, что mk(t) есть неубывающая функция от t. Отсюда следует, что Mk(t) и тк(() при t—> оо стремятся к определенным пределам. Теорема, очевидно, будет доказана, если мы покажем, что эти пределы совпадают между собой, а для этого необходимо и достаточно иметь
Д* (0 = Мк (t) — тк (t) —> 0 (/ — оо).
В дальнейшем все суммы по всем индексам будут распространяться на значения О, 1, ..., л этих индексов, вследствие чего мы можем не указывать области суммирования. Пусть Р/г(<0)>0 (0<1<я, 0<Л<я) (такое tt найдется в силу транзитивности процесса). Положим,
dl? = р1г (/,) - P/f(0 (0 < /, /, г < л),
*) У Маркова эта теорема доказана для «цепей», т. е. процессов с дискретным временем; однако доказательство переносится без всяких изменений на интересующий нас случай непрерывного времени.
я будем в дальнейшем обозначать через 2* (соответственно 2’) суммы, распространенные лишь на область положительных (соответственно неположительных) d$. Тогда в силу
2Р*Л*.) = 2Р<г('.) = 1 (0 /<л)
Г т
мы имеем
о-2<де-2'1<#1-2Г1‘*)1 (°<‘W<«),
или
при этом в силу Ptr(g>0 (0</, гп)
a,i=2'^=2'K (g-P,,(gi < 2'Р/г (д < 2 Р/Д^о)=ь
г г гг
Это неравенство имеет место для любых < и I, вследствие чего и
Л== max Аи<1.
о </,
Пусть теперь q — любое натуральное число. Тогда при Os^fs^/z Osg/sSfl в силу (18.1)
Р«(^.-+-<»)-Р/*(^. + 0 =
=2 Р/, (<.) Рг* (?д - 2 Р/, (О Р,* («д-Г=2 tP/r V.) - Pir (Ml Pr* <?g=
г
=2^' p,* («/.)=2'^ p* (?g - 2' IM | p,* (^,) ^
r r r
< W A« — /»* (?g A,i = a, A (?g < ЛДА (g/#).
Так как это неравенство имеет место для любых I, I, то можно принять
р1к (як+g=Mk +д. рik w*+g=(<?<,+g;
тогда мы получаем
Л* (?*o + g<*A*(fgs
рекуррентное же применение этого неравенства дает А*^.)<Л»-,А*(д<*'-» —0 (<? —оо).
В силу моинотонности функции Дk(t) отсюда очевидно следует, что
Д*(*)—*-0 (t —* оо).
Этим теорема Маркова доказана.
§ 20. Уравнения и формулы Эрланга
Теперь мы переходим к ставшему классическим методу Эрланга определения величин рк, существование которых нами только что доказано. В отличие от предыдущего параграфа, мы будем при этом иметь в виду исключительно наш конкретный процесс N(t).
Во всем дальнейшем нам придется иметь дело с промежутком времени бесконечно малой длины т. Условимся для краткости обозначать через о(т) всякую бесконечно малую порядка выше т и соединять знаком % всякие две величины, разность которых есть величина вида о(т).
Согласно принятым нам > в § 18 предпосылкам вероятность w(x) поступления по меньшей мерэ одного вызова за промежуток времени т есть величина = Хх, а вероятность if (т) поступления более одного вызова — величина вида о(т). С другой стороны, если какая-либо линия в данный момент занята, то вероятность оставаться занятой еще в течение х секунд (или бэлее) для нее равна е~~: если занято k линий, то вероятность того, что все они останутся занятыми в течение промежутка времени т, равна поэтому вероятность же того, что в течение промежутка времени т по меньшей мере одна из этих линий освободится, равна
1 — е-*я=Ат.
Поступление вызовов и освобождение линий представляют собой элементарные события, в моменты которых скачкообразно меняется величина N(f). Из того, что мы до сих пор установили для вероятностей таких элементарных событий, с очевидностью следует, что вероятность наступления в промежутке длины т по меньшей мере одного элементарного события (того или другого типа) при т—>- 0 асимптотически пропорциональна т; вероятность же наступления в промежутке длины двух или более элементарных событий (все равно, каких типов) есть величина вида е(т) (или, что то же,=0).
