Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
13.3. БАРОКЛИННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ: ЗАДАЧА ИДИ
Теперь мы снова рассмотрим задачу из разд. 13.2, но с учетом верхней границы, образуемой тропопаузой. Для упрощения, математических выкладок возьмем предельный случай с большими значениями Nf над тропопаузой, так что верхняя граница-при этом поведет себя как твердая стенка. Выберем точку отсечения 2* = 0 в потоке на половине расстояния между границами, которые будут иметь координаты z* = ±Я, и воспользуемся симметрией задачи. Средний поток зададим в виде
где постоянная dU/dz* удовлетворяет (13.2.1). Решение уравнения (13.2.2) для возмущений с фиксированным горизонтальным волновым числом %н можно теперь представить в форме
ф' = А(х, у, t) sh (zJHn) + В (х, у, t) ch (zjHr), (13.3.2)
где Hr задано в виде (13.2.4). Условие отсутствия вертикальных движений на границе, которое приводит к соотношению
(13.2.6) для температуры, теперь будет применено на двух границах 2* = ±Я. С помощью (12.9.6) при w* = 0 его можно представить также в терминах функции Ф'. Подставляя в это уравнение выражение (13.3.2) и приравнивая к нулю отдельно1 четные и нечетные составляющие полученного уравнения, полу-
U = z, dU/dz
(13.3.1)
чим
дА
dt
дБ
dt
•Существуют решения с А и В пропорциональными
cos lytxp [ik{x — ct)\, (13.3.4)
где скорость волны с определяется следующим образом:
c^idUJdzJlHthiHjHu) - HR] [НсЩН/Hr) - HR\. (13.3.5)
Так выглядит один из полученных Иди результатов.
В пределе, когда расстояние между границами много, больше высоты Россби, т. е. Н > #R (как показывает (13.2.4), это соответствует коротковолновому пределу), обе функции th и •cth стремятся к единице, и (13.3.5) дает:
с ~ ±(dU/dzJ(H - tfR). (13.3.6)
Иначе говоря, скорость с равна при этом скорости ветра на расстоянии от границы, равном одному масштабу высоты Россби. Таким образом, решение воспроизводит пограничные волны из разд. 13.2.
В длинноволновом пределе, когда Я<Яr (т. е. расстояние между границами составляет лишь малую часть высоты Россби), из (13.3.5) следует, что
с2 ~ -~H2(dU/dZy, (13.3.7)
т. е. значение с становится чисто мнимым. В целом, если выразить с в виде суммы действительной сг и мнимой С\ составляющих,
c = cr-\-icu (13.3.8)
то амплитуды А и В меняются в соответствии с (13.3.4) как
cos lyexp[ik(x — Cr(/)] exp(kcit). (13.3.9)
Если значение сг- > 0, то возмущения самопроизвольно растут. Если Ci С 0, то возмущения затухают. Как видно из
(13.3.7), могут существовать оба типа возмущений, однако возмущение с экспоненциально растущей амплитудой скоро начинает доминировать. В действительности, кроме того, происходит и перераспределение энергии по длинам волн, и выделяются возмущения с такими длинами, при которых рост амплитуды происходит наиболее быстро. Скорость роста а = kc{ показана на рис. 13.3 как функция волнового числа {k,l). Для длинных волн она мала, так как из (13.3.7) следует, что
o~kCi « 3-[l2kHdU/dz«. (13.3.10)
Одновременно (13.3.5) указывает на то, что рост происходит только при
i/th(///tfR) < tfR, т. е. tf<l,1997tfR или N,mH < l,1997f
(13.3.11)
NHk/f
Рис. 13.3. Скорость роста о волны Иди как функция волнового числа (k, /). Изолинии проведены через значения, кратные (f/N.M)dU/dz*. При k = 0 w в том случае, когда модуль хн равен 1,1997, скорость роста равна нулю. Максимальное значение, равное 0,3098 (f/N*)dU/dz*, достигается при / = 0' и N Я%н/[ == 0,8031. При фиксированном отношении kjl максимум имеется при том же самом значении хн. Для заданного I (соответствующего бароклинной зоне заданной ширины) максимум отмечается при таком значении k,. которое с ростом I уменьшается (в более узких зонах возникают более-длинные неустойчивые волны).
(см. 13.2.4). Максимальный рост достигается при
1 = 0 и н = 0,8031#r, т. е. N,kH = 0,8031/, (13.3.12)-и происходит со скоростью
атах — 0,3098 (f/Nt) dU/dZ>,. (13.3.13).
При этом значении из (13.3.3) получаем
А г tfo —v/2 -
В = [ я cth (/l/HR) - HR ] =1>502. (13.3.14)’
Это позволяет записать общую формулу для отношения А/В.. Для наиболее быстро растущей моды это отношение равно также cth(H/HR). Таким образом, решение (13.3.2), которое:
Рис. 13.4. Свойства наиболее неустойчивой волны Иди (т. е. наиболее неустойчивой волны в потоке с постоянным сдвигом скорости между двумя границами во вращающемся с постоянной угловой скоростью окружении). Решение не зависит от координаты у. Изобары (сплошные линии) и изотермы (штриховые линии) на верхней (а) и нижней (г) границах. Картина, получающаяся на иижней границе, сильно напоминает приграничную волну, показанную на рис. 13.1, г. Отличие состоит в том, что изотермы здесь •сдвинуты по фазе относительно изобар на 21° к востоку. (На рис. (а) и (г) для наглядности этот фазовый сдвиг искусственно увеличен, а на рис. (б) и (s) решение показано точно.) Поскольку направленное в сторону полюса течение находится в теплой части волны, а течение, направленное к экватору, в холодной, возникает поток тепла к полюсу. Он имеется также и в точке максимально смещенной к полюсу, поскольку отклонения со временем растут. Картину, соответствующую верхней поверхности, можно получить из картины, соответствующей нижней, с помощью преобразования симметрии, (б) Функция тока агеострофического течения в плоскости (х, z*). Как установлено в разд. 12.10, восходящие потоки имеются в течении, направленном к холоду, а нисходящие — в течении, направленном к области тепла. При, соответствующем наиболее неустойчивой волне волновом числе между двумя горизонтальными границами укладывается 1,6 высот Россби HR. (в) Изолинии нормальной составляющей скорости (и) и нзэитропы (сплошные и штри-
