Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
13.6. БАРОТРОПНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
В рассмотренных ранее задачах об устойчивости функция U принималась зависящей только от координаты г*, т. е. изучался «чисто бароклинный» случай. Однако в принципе функция U должна меняться как по г*, так и по у, и в выражение градиента потенциальной завихренности (12.9.4), определяющего устойчивость потока (как, например, в модели Чарни), должны входить производные по обеим координатам. Чтобы производные по у были малыми по сравнению с производными по 2*, необходимо, чтобы масштаб L по оси у удовлетворял условию
(13.6.1)
где характерный для изменений U по оси г* масштаб Н не должен превосходить масштаба высоты Hs. Иначе говоря, чисто бароклинная задача может иметь смысл только тогда, когда горизонтальные масштабы невозмущенного течения много больше радиуса Россби. Кроме того (см. разд. 12.3), энергия невозмущенного потока должна содержаться не столько в форме кинетической, сколько в форме доступной потенциальной.
Противоположный предельный случай получается тогда, когда функция U зависит только от у (это «чисто баротропный случай»); он возникает, если можно пренебречь изменениями по высоте. Если же потенциально могут существовать оба вида неустойчивости, то количественную оценку их относительного значения может дать уравнение для энергии возмущений. В случае несжимаемой жидкости его можно вывести, исходя из так называемых возмущенных квазигеострофических уравнений
движения (12.2.24) и (12.2.25). Они дают /0иа = — $yug — (d/di 4- U d/dx) vgy foVa = — pyvg + (d/dt -f U d/dx) ug + (dU/dy) ve,
где U (у, 2*) обозначает невозмущенное течение,
ug = — fa1 дФ'/ду, vg = fcT1 dOf/dx
(13.6.2)
(13.6.3)
(13.6.4)
представляют собой геострофическую скорость возмущения, а На, иа — его агеострофическую скорость. Если из (13.6.2), умноженного на vg, вычесть (13.6.3), умноженное на ug, и использовать (13.6.4), то в результате можно записать (ср. с (12.2.33)):
j-(d/dt + Ud/dx) (и* + v*)+(dU/dy) ugvg+ua d<I)'/dx-\-vad(b'/dy=0.
(13.6.5)
Прибавляя сюда соотношение (12.9.6), умноженное на N~2d<$'/dz, и учитывая (12.8.2), (13.6.4), (13.2.5) и (13.2.1),
Допуская периодичность решений по оси х, это уравнение можно осреднить по длине волны (результат осреднения обозначается чертой сверху). Дальнейшее интегрирование по у и 2* дает:
Предполагалось, что на границе области интегрирования нормальная скорость равна нулю. В правой части полученного соотношения имеются два члена, соответствующие либо источникам, либо стокам энергии возмущений. В «чисто бароклинной» задаче мы встречаемся только со вторым и он характеризует переход доступной потенциальной энергии в энергию возмущений. Напротив, в «чисто баротропной» задаче появляется только первое из этих слагаемых, которое представляет собой переход в энергию возмущений средней кинетической энергии. Если действуют оба процесса, для определения относительного значения каждого из них можно оценить отношение членов в правой части.
получаем
= _ \\wUgVs dtJdz* — \\ (-^)2~j!fvsQdydz*' О3-6-?)
Теперь с помощью простого примера течений на f-плоскости продемонстрируем решение «чисто баротропной» задачи. Если |3 = 0, то формулировка полностью совпадает с постановкой задачи для случая без вращения. При этом может быть применена классическая теория устойчивости ненаправленных течений [462,
173, 174]. Выбранный пример — это течение с постоянным сдвигом
U = у dU/dy при \y\<L (13.6.8)
(dU/dy — константа), которое находится между двумя районами течений с постоянной скоростью (см. рис. 13.7). Впервые
Ркс. 13.7. Отклонения геопотенциала (давленая) в наиболее неустойчивом возмущении при характерном профиле скорости с равными и противоположными значениями в верхней и нижней части области. Этот профиль показан справа. Наклон линий равных фаз коррелирует с —v, т. е. если ось у направлена на север, то восточная составляющая импульса переносится к югу, а западная —к северу.
эта задача исследовалась в 1880 г. Рэлеем [655]. Поскольку определяемый из (12.9.4) градиент потенциальной завихренности dq/dy равняется здесь нулю (за исключением точек y = ±L), задача очень сильно напоминает задачу Иди из разд. 13.3. Уравнение (12.9.1) при этом по-прежнему сводится к (13.2.2), хотя теперь изменения по z* отсутствуют. По своей структуре решение сходно с (13.3.2), и для растущей со временем моды оно принимает вид
Ф' = (acos kx sh ky + b sin kx ch ky) exp (at) при \y\<L. (13.6.9)
При \y\> L решение Ф' экспоненциально уменьшается от значения, которое получается при у = L из соображений непрерывности. Зависимости между а, b и а следуют из требований непрерывности v& при у — ±Ь. С учетом (13.6.3) можно записать:
сш = 6 (dU/dy) |jj- — kL + exp (— 26L)1,
(13.6.10)
ab — a (dU/dy) ykL — у + у exP (~ 2&L)J,
