Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
' ft I и ~ с I2 дУ Z* _f0\U — cfdy
] = 0, (13.5.1а)
где Р — некое положительно-определенное выражение.
В каждом из уравнений первый член представляет собой определенный интеграл от нижней до верхней границы, квадратные скобки, в которые заключен второй член, обозначают разность значений на верхней и нижней границах области. Чтобы выразить влияние границ с помощью функции от градиента температуры на границе, использовалось соотношение термического ветра (13.2.1). Полученные уравнения легко обобщаются с учетом зависимости от у. В этом случае (13.5.1) необходимо проинтегрировать по всей области у в предположении, что на ее границах выполняются условия либо периодичности, либо отсутствия нормального потока. Кроме того, можно допустить, что и верхняя и нижняя границы имеют небольшой наклон. Для этого в (13.5.1) необходимо понимать под д®/ду не градиент температуры на факсированном уровне, а скорость изменения температуры вдоль границы. Оказывается возможным также отодвинуть либо одну, либо обе границы на бесконечность. Это осуществляется переходом к соответствующему пределу.
Выражения (13.5.1) можно применить для решения уже рассмотренных ранее задач об устойчивости, если оценить знаки различных слагаемых в их левых частях. В примере из разд. 13.2 единственный ненулевой вклад может создать только нижняя граница. Поскольку этот вклад отрицательный, поток должен быть обязательно устойчивым, что и имеет место на самом деле. В задаче Иди отрицательный вклад от нижней границы компенсируется положительным вкладом от верхней, и возникает возможность неустойчивости. Она имеется и в задаче Чар-ни, несмотря на то, что верхняя граница не дает в этом случае никакого вклада; вместо нее этот вклад создает внутреняя область. В целом из (13.5.1) следует необходимое для неустойчивости условие [276, 127]: следующие функции
(dq/dy) во внутренней области,
(дв/ду) на нижней границе, (13.5.2)
— (д@/ду) на верхней границе
должны иметь не одинаковые знаки, а быть как положительными, так и отрицательными. И наоборот, если функции (13.5.2) имеют везде одни и те же знаки, то это условие является достаточным для устойчивости. Иной способ вывода и интерпретации этого результата дан в работе [82].
Полученное условие можно усилить, если учесть уравнения (13.5.1Ь). Поскольку добавление уравнения (13.5.1а), умноженного на произвольное число, ничего не меняет, вместо сг можно использовать любую постоянную Ur. Отсюда следует [614], что
если можно найти такое число Ur, при котором функции
((?/ — Uг) dq/dy) во внутренней области,
{(U — Ur)d@ldy) на нижней границе, (13.5.3)
— ((U — Ur) д®/ду) на верхней границе
нигде не будут положительными, то поток должен быть устойчивым. Этот результат можно также получить (см. [615]), не используя предположение о волновом поведении решений по х и t. Для этого необходимо приравнять скорость роста энергии возмущения к скорости роста других интегральных величин, которые оказываются отрицательно определенными при условии, что все функции из (13.5.3) принимают только отрицательные или нулевые значения. Данный метод можно обобщить также н на случай непараллельных, квазигеострофических потоков. Поскольку горизонтальный поток является геострофическим, и следовательно, в первом приближении горизонтально бездивергент-ным, возмущение геопотенциала ф" выступает для стационарного потока, устойчивость которого рассматривается, в качестве функции тока. Соответственно из (12.8.13) следует, что на линиях тока Ф" = const потенциальная завихренность q постоянна, т. е.
q = q( Ф"). (13.5.4)
Аналогично, поскольку температура © жидкой частицы на границе сохраняется, на верхней и нижней границах имеем
0 = 0(ф"). (13.5.5)
В работе Блюмена [73] с помощью метода Арнольда [30] было найдено следующее достаточное условие устойчивости: функции
(dq/dO") во внутренней области,
(•д&/дФ") на нижней границе, (13.5.6)
—¦ (д&/дФ") на верхней границе
должны быть везде положительными. Связь этих условий с
(13.5.3) можно проследить, если заметить, что для параллельного потока
dg _ dgfdy ______ dgldy ,« о г 7\
дФ" дФ"/ду ~ f0U ’ о.о.
Приведенные выше условия оказываются полезными, например, при обсуждении вопросов бароклинной неустойчивости в океане. Ниже поверхностных слоев градиенты обычно оказываются малыми, и во всей области (за исключением приповерхностной зоны) dq/dy близко к параметру (3. Так как dq/dy не
меняет своего знака, а градиент температуры у дна оказывается пренебрежимо малым, то из (13.5.2) следует, что неустойчивость возможна только в том случае, когда температура растет с приближением к полюсу! Это происходит довольно редко. Однако, как можно заметить на меридиональных разрезах температуры (см. также рис. 12.5), в районах поверхностных течений западного направления температура в области термоклина все же увеличивается по направлению к полюсу. Это может приводить к изменению знака dq/dy даже при вполне умеренных скоростях течений. В работе [258] была, например, обнаружена неустойчивость поверхностных течений западного направления со скоростями около 0.05 м/с. Время возрастания возмущений в е раз имело порядок 100 суток. В холодных водах пролива Дрейка встречается практически противоположная ситуация: зарегистрированные здесь вихри вызываются неустойчивостью, связанной с возрастанием придонной температуры воды по направлению к экватору [870].
