Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно,
a2 = (dUfdyf]^ exp(— 4kL) — — ^)2] ¦ (13.6.11)
Максимальное значение скорости роста а равно
(Ушах = 0,2012 dU/dy при ??, = 0,3984. (13.6.12)
Соответствующее решение показано на рис. 13.7. Как и в задаче Иди, область волновых чисел, при которых может возникать неустойчивость, ограничивается определенным предельным значением; в данном случае оно получается при kL = 0,6392.
Как видно из рис. 13.7, линии равных фаз возмущения геопотенциала Ф' наклонены в сторону, противоположную наклону профиля скорости на боковом рисунке, т. е. в то время как восточная составляющая осредненной скорости растет к северу, линии равных фаз с увеличением широты отклоняются к западу. Эта особенность характерна для любой растущей волны. Дело здесь в том, что как видно из (13.6.7), для роста возмущений функции iigVg и dU/dy должны иметь противоположные знаки. Из (13.6.4) при этом видно, что в зоне роста Ф' по х знаки производных Ф' и U по у должны совпадать. Это и означает, что наклоны линий равных фаз и профиля сдвигового течения должны быть противоположными. В настоящем примере ugVg имеет постоянное значение при \y\<iL и равно нулю при \у\> L. Знак этой функции соответствует переносу импульса из внешней бессдвиговой области к центру зоны сдвига. Возникающий при этом эффект равносилен уменьшению энергии среднего течения за счет ее передачи возмущениям.
Приведенный выше пример полезен для демонстрации характера баротропной неустойчивости. Вместе с тем, в геофизических приложениях основное значение часто имеет (3-эффект. Необходимые для его учета изменения постановки задачи обсуждались в работах Куо [421, 423]. Как показывает первое из найденных в разд. 13.5. условий, а именно условие (13.5.2), баротропный зональный поток устойчив, если функция
(3 - d2U/dy2
не меняет своего знака, т. е. максимальное значение градиента завихренности d2U/dy2 не превосходит р. Чтобы оценить возможность реализации этого условия, зададим масштабы расстояния L и скорости AU так, что AU/L2 будет равно максимальному градиенту завихренности. Неустойчивость возможна только тогда, когда
L < (Д?//(3)1/2, (13.6.13)
т. е. для атмосферы с AU = 20 м/с величина L должна быть меньше 1000 км. Чтобы баротропная неустойчивость могла возникнуть в океане с AU = 20 см/с, величина L должна быть меньше 100 км.
Расчеты устойчивости выполнялись также и для баротроп-ных планетарных волн [134, 240, 487, 674]. За исключением
специфического случая с зональным потоком, планетарные волны на бесконечной p-плоскости всегда оказываются неустойчивыми [240]. Если их волновое число заметно меньше того, которое следует из неравенства (13.6.13) (или, если смотреть с другой точки зрения, их амплитуда A.U достаточно велика), то неустойчивость возникает в точности так, как это происходит в параллельном потоке при нулевом значении параметра р. С другой стороны, для больших масштабов (или малых амплитуд) неустойчивое возмущение состоит из двух волн, которые вместе с исходной волной образуют резонансную триаду (см. разд. 8.13). Эти результаты были обобщены в работе [381] на случай двухслойной жидкости. В случае сферической области возможность резонансных взаимодействий уменьшается за счет геометрических ограничений, поэтому неустойчивыми являются не все волны [345, 34].
В реальных случаях бароклинные и баротропные эффекты часто перемешиваются. Конкретная ситуация при этом определяется параметрами, равными отношениям пространственного масштаба изменения потока L к радиусу Россби и к масштабу
(13.6.13), связанному с параметром р. В океанологических примерах важным оказывается также отношение характерного вертикального масштаба изменения потока массы к глубине океана. В работе Киллворта [403] была рассмотрена устойчивость течений при всех возможных предельных значениях указанных параметров. Для пограничных течений типа Гольфстрима важным, кроме того, оказывается существование боковых границ. Определенный эффект создает и рельеф дна. Лабораторные эксперименты по устойчивости пограничных течений обсуждаются, например, в [280].
В последних разделах книги показано, как возмущения могут самопроизвольно расти при различных обстоятельствах. В природе можно также встретить и множество других примеров этого процесса. Действительно, неустойчивость имеет чрезвычайно общий характер и порождает такие природные явления, как турбулентность в атмосфере и гидросфере, тропические и внетропические штормы, многообразие облачных форм, полосы осадков, термики и т. п. Неустойчивость не является предметом этой книги; ее теория изложена в работах [59, 117, 122,
174, 268, 460, 795, 824, 863 и 889].
13.7. ВИХРИ В ОКЕАНЕ
Ранее мы рассматривали многие аспекты динамики океана. Так, в разд. 10.14 речь шла о восточных пограничных течениях, в разд. 11.12, 11.14 и 11.16 — о течениях в тропиках, в разд. 12.5 и 12.6 — о течениях вне тропических районов. Было, в частности, показано, что экмановская подкачка (см. определение в
