Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
12.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Очень важной задачей, решение которой необходимо для прогнозирования погоды, является определение поля вертикальных движений, т. е. именно той составляющей циркуляции, которую непосредственно измерить невозможно. Большое значение этой проблемы связано с тем, что восходящие движения приводят к образованию осадков и играют существенную роль в развитии фронтов и других явлений. Один из методов расчета вертикальной скорости уже обсуждался в разд. 8.16. Он основан на закономерности, подмеченной в 1928 г. в работе Бранта и Дугласа [95]: в квазигеострофическом течении поле горизонтальной дивергенции определяется изаллобарическим ветром, т. е. ветром, совпадающим по направлению с градиентом скорости изменения давления [см. (8.16.7)]. Была разработана соответствующая методика, элементом которой является построение карт скоростей изменения давления. Изолинии на этих картах называются изаллобарами, а области конвергенции связываются с потоками в «изаллобарические минимумы».
Если применить к уравнениям Бранта и Дугласа оператор дивергенции, то в результате получится уравнение потенциальной завихренности (12.8.3) (или (12.8.11)). Поэтому по сути метод этих авторов эквивалентен использованию некоторого уравнения, связывающего w с полем давления. Вместе с тем в разд. 12.8 были выведены не одно, а два уравнения, каждое из которых связывало вертикальную скорость w и возмущение геопотенциала Ф" (или возмущение давления р'). Это уравнение баланса завихренности и уравнение для функции плавучести
((12.8.4) и (12.8.12)). Информацию о w можно получить или с помощью любого из них, или из их комбинации. Особенно полезной является такая их комбинация, которая не содержит производных по времени, поскольку при этом о функции w можно судить, зная поле геопотенциала в один фиксированный момент времени. При последующих преобразованиях мы будем использовать уравнения с учетом сжимаемости воздуха, так как соответствующие уравнения для несжимаемой жидкости из них получаются очень просто — для этого надо положить линейный масштаб Н5 равным бесконечности.
Комбинация, которая не содержит производных по времени, получается при сложении производной уравнения (12.8.11) по z* и горизонтального лапласиана от (12.8.12). В результате имеем
где NL представляет собой вклад нелинейных членов. Последние можно записать несколькими способами [356]. Мы сделаем это несколько позже своим, отличающимся от предыдущих, способом. Уравнение (12.10.1) выведено для функции, эквивалентной вертикальной скорости в изобарических координатах. Обычно эту функцию (см. разд.. 7.17) обозначают греческой буквой «омега», и поэтому уравнение (12.10.1) также называется «уравнением для омега-функции». Его приближенный вариант был впервые выведен в работе Сатклиффа [762], автора метода расчета w, основанного на оценке различий интенсивности дивергенции на нескольких уровнях по высоте. Смысл этого метода состоял в том, что он позволял учесть сильно бароклнн-ные ситуации, многие из которых попросту пропускались при использовании только поверхностных карт изаллобарических полей. В предложенном Сатклиффом варианте уравнения (12.10.1) использовалось двухуровенное приближение.
Более очевидный подход [356] связан с исключением членов d/dt непосредственно из квазигеострофических уравнений движения и уравнения для функции плавучести. Так, если вычесть умноженные на /0-1 производные по z* от уравнений
(12.2.24) и (12.2.25) (их надо записать через функцию Ф", используя (6.17.17)) из производных от соотношения (12.8.12) по ^ и по у соответственно, то получится
(12.10.1)
(12.10.2)
где
п 1 ( дЧЬ" д2Ф" д2Ф" д2Ф" \ _
[о Ч дх ду dz* дх дхг dz* ду )
( dvg
П — — ( д'2ф" д2Ф" __ д2Ф" д2Ф" Л у /о \ ду2 дг„дх дх ду дг* ду )
(ди
Гидростатическое соотношение использовалось в виде (6.17.20). Интересная особенность выполненного вывода связана с тем, что вклад в член Qx в правой части (12.10.2) дают оба исходных уравнения. Кроме того, интересно также и то, что если использовать в уравнениях (12.10.2) и (12.10.3) вертикальную координату zs, определяемую формулой (8.8.25) (и соответствующую вертикальную скорость), то в левой части этих уравнений будут стоять горизонтальные компоненты завихренности. Складывая производную уравнения (12.10.2) по х с производной (12.10.3) по у, можно получить уравнение (12.10.1), в котором
NL = 2(dQx/dx + dQy!dy). (12.10.6)
Вектор Q можно рассчитать по известным значениям геопотенциала и температуры на заданной изобарической поверхности. Как показали Хоскинс и Педдер [354], дивергенция этого векторного поля дает четкое представление об областях подъема воздуха, где вектора Q обнаруживают сходимость. Если обозначить через s координату, характеризующую расстояние вдоль изотермы (см. разд. 7.10), а через п — иормаль, так что s, п, и вертикаль образуют правостороннюю систему координат, то для определения Q можно будет применить простую формулу
