Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве простого исходного пункта при теоретическом описании может служить так называемая модель Изинга. Рассмотрим правильную пространственную решетку и каждому ее узлу i = 1,..., N поставим в соответствие спин Изинга Si = ±1. Соседние спины взаимодействуют через коэффициенты связи Jib поэтому полная энергия системы определяется функцией Гамильтона
b = -J2 Ja Si sr
(10.2)
hi
Положительные Jy соответствуют ферромагнитным связям, так как при S; = Sj, т. е. при параллельных спинах, энергия отводится. Антиферромагнитные взаимодействия < 0 требуют, наоборот, Si = -Sj для конфигураций меньшей энергии. С помощью стандартных методов статистической механики (Ландау, Лифшиц, 1995) из функции Гамильтона (10.2) находят по формуле
(10.3)
свободную энергию и определяют термодинамические свойства системы. В выражении (10.3) Т означает абсолютную температуру, а сумма берется по всем возможным конфигурациям спинов. Если связи не зависят от узлов решетки, т. е. если то
результат такой программы хорошо известен: при J > 0 (J < 0) система претерпевает фазовый переход второго рода в ферромагнитную (антиферромагнитную) низкотемпературную фазу. В смысле нашей постановки задачи это соответствует решению
нефрустрированной задачи на оптимизацию, так как при низких температурах система реализует состояния с минимальной энергией. В случаях, о которых мы только что говорили, существуют ровно два таких состояния: когда все спины параллельны, т. е. Si = +1 (или Si = — 1), — в случае ферромагнетиков, и спины с чередующейся ориентацией — в случае антиферромагнетиков. Для нас важно, что существует состояние системы, которое удовлетворяет всем условиям взаимодействия. Учитывая статистическую природу спиновых стекол, следует ожидать сложной вариации коэффициентов связи Jy при переходе от узла решетки к узлу, если простая модель (10.2) позволяет получать результаты, которые хотя бы качественно согласуются с экспериментом. Особенно интересной представляется возможность рассматривать обменные связи как случайную (стохастическую) величину, т. е. рассматривать Jy как независимые случайные величины, имеющие одно общее распределение вероятностей P(Jij). В этом случае при заданной конфигурации коэффициентов связи Jy можно вычислить свободную энергию и получить распределение вероятностей Руло различным возможным конфигурациям. Осуществить такие вычисления аналитически пока удается лишь с помощью плохо контролируемых математических трюков и в относительно простых приближениях. Поэтому было проведено много численных экспериментов, результаты которых обладают убедительным сходством с результатами натурных экспериментов, что свидетельствует об адекватности модели Эдвардса—Андерсона (ЭА) задачи о спиновых стеклах (Binder, Young, 1986).
Чем физически отличается эта модель от простой модели Изинга для ферро-и антиферромагнетиков, как она объясняет принципиально различные макроскопические свойства?
На рис. 10.3 представлены две возможные элементарные ячейки плоской, модели ЭА с возможными конфигурациями минимальной энергии. Слева, хотя спины беспорядочно ориентированы то вверх, то вниз, ситуация в целом обладает далеко идущей аналогией с упорядоченными системами, так как изображенная конфигурация удовлетворяет всем связям. Это принципиально невозможно во втором случае: в каком бы направлении ни был ориентирован спин, обозначенный вопросительным знаком, всегда одно из четырех взаимодействий оказывается нарушенным; следовательно, не существует конфигурации, в которой все вклады в энергию (10.2) одновременно минимальны. По предложению П. У. Андерсона, системы с такого рода конкурирующими взаимодействиями называются фрустриро-вакными. Поиск состояния с минимальной энергией в модели ЭА представляет тем самым наглядный пример фрустрированной задачи на оптимизацию. Обобщая пример, приведенный на рис. 10.3, нетрудно показать, что все конфигурации спинов, при которых произведение связей отрицательно (положительно), фрустрированы (нефрустрированы) (Toulouse, 1977). Если распределение P(Jy) обменных связей симметрично относительно Jy = 0, то у макроскопической системы существует примерно столько фрустрированных, сколько и нефрустрированных конфигураций спинов. Столь сложное смешение разрешимых и принципиально неразрешимых задач при минимизации энергии является микроскопической причиной необычных термодинамических свойств спиновых стекол.
+
+
Рис. 10.3. Конфигурация с минимальной энергией для нефрустрированной (слева) и фрустрированной (справа) элементарной ячейки плоской модели Эдварса—Андерсона. Знаки определяются обменными связями
Из рис. 10.3 мы получаем также первое указание на число спиновых конфигураций, реализующих возможный минимум энергии. Для нефрустрированной конфигурации, изображенной на рис. 10.3 слева, помимо нее самой существует еще только одна конфигурация с такой же энергией, возникающая при инверсии всех спинов и соответствующая преобразованию симметрии Si —* —Si функции Гамильтона (10.2). В случае фрусгрированной конфигурации взаимодействие нарушается и в состоянии с минимальной энергией, причем фрустрирована может быть каждая из четырех имеющихся связей. При дополнительном учете вырождения энергии Si —* —Si мы получаем даже для такой системы всего лишь четырех спинов восемь возможных конфигураций с минимальной энергией. Столь сильное вырождение основного состояния обусловливает сложные явления гистерезиса, наблюдаемые экспериментально в спиновых стеклах. Совершенно ясно, что «идеальные» решения нефрустрированных задач на оптимизацию позволяют получить представление лишь о вырождении симметрии избранной постановки задачи, тогда как в случае фрустрированных задач мы принципиально можем получить только компромиссные решения различного рода.
