Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Эбилинг В. -> "Физика процессов эволюции" -> 122

Физика процессов эволюции - Эбилинг В.

Эбилинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции — М.: УРСС, 2001. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikaprocessovevolucii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 176 >> Следующая

dty(q, t) = E(q)y(q, t) + D d^y(q, t). (9.18)
Формальное решение уравнения (9.18) представимо в виде разложения по собственным функциям эллиптического оператора
Н = D Э2Я + E(q),
т. е. в виде ряда
У(?> О = 22 ^ ехР
(9.19)
П
где
С»= dqi/>n(q)nQ(q),
(9.20)
а и ^п(<?) определяются путем решения задачи на собственные значения
Ясно, что ipn(q) представляют собой континуальное обобщение квазивидов Эйге-на и Шустер (Эйген, Шустер, 1982), Еп — их приспособленность. С точностью до знака «потенциала* E(q) и собственных значений Е„ уравнение (9.21) соответствует стационарному уравнению Шрёдингера (Feistel, Ebeling, 1982), что позволяет использовать различные результаты квантовомеханических исследований. В качестве простого примера рассмотрим вопрос о том, какой из двух существующих максимумов функции E(q) может быть реализован видом, обладающим более высокой приспособленностью, и, следовательно, в каком из максимумов сосредоточено распределение при f —> оо. На рис. 9.3 показан при d = 1 один максимум высотой е№ и шириной Aq^ и второй более плоский (е№ < Е^), но более широкий максимум (Дд® > Д<?^). Нетрудно видеть, что при 0 = 0 без учета мутаций решающим является только локальное значение приспособленности E(q), поэтому при t —> оо распределение сосредоточивается в высоком и узком максимуме. При D Ф 0 из квантовой механики для наиболее глубокого собственного значения Ео такой потенциальной ямы известно следующее выражение:
(Ландау, Лифшиц, 1989). Таким образом, при достаточно большом коэффициенте D более плоский, но более широкий максимум функции приспособленности реализует приспособленность квазивида (подчеркнем еще раз различие в знаках между моделью эволюции и квантовой механикой). Такой вывод согласуется и с биологическими представлениями, поскольку с возникновением мутаций каждый вид q тащит за собой «хвост* мутантов, что требует учета не только значения функции E(q) в самой точке q, но и в некоторой окрестности этой точки. Поэтому узкие максимумы, хотя они и относительно высоки, остаются «незаселенными*. Подобный эффект становится еще более заметным при переходе к высоким размерностям, так как обобщение соотношения (9.22) на случай размерности d имеет вид
D $Мя) + ЩяШя) = Е„фп(я).
(9.21)
(9.22)
E(q) n(q, t=oо)
О
Я
О
9
Рис. 9.3. Конечное состояние эволюции для простой функции приспособленности с двумя различными локальными максимумами при малой (слева) и большой (справа) интенсивности мутаций
Так как пространство фенотипов имеет очень высокую размерность d > 100, определение даже асимптотического распределения n(q,t —> оо) становится нетривиальной задачей.
Приведенное выше преобразование к уравнению Шрёдингера имеет особое значение в случае стохастической функции приспособленности. Так как функция E(q) играет в уравнениях (9.18) и (9.21) роль потенциала, наша эволюционная задача с математической точки зрения допускает далеко идущую аналогию с задачей о поведении электрона в случайном потенциале.. Это позволяет перенести на интересующий нас случай результаты, полученные при решении того круга задач, которые занимают центральное место в теории неупорядоченных тел и поэтому исследовались и продолжают исследоваться весьма основательно (Thouless, 1974; Anderson, 1978; Lee, Ramakrishnan, 1985). Особый интерес представляют следующие три результата.
1; Плотность состояний собственного значения Е„ уравнения (9.21) имеет характерный вид, представленный на рис. 9.4. Здесь важно обратить внимание на существование так называемой границы подвижности Енелр, отделяющей непрерывную часть спектра Е < Етпр с собственными значениями, соответствующими нелокализованным собственным функциям, от дискретной части Е > -Енепр с собственными значениями Еп, соответствующими локализованным функциям (Mott, 1967; Kimball, 1978). При й-*оо асимптотические выражения для р(Е) существуют для различных статистик потенциала (Лифшиц и др., 1982).
2. Соответствующие локализованным собственным значениям Е„ > Еяепр собственные функции ipn(q) локализованы, т. е. обладают центром локализации q„, и на больших расстояниях от этого центра их асимптотика имеет вид
4>n(q) ~ ехр ^ i gnl|, (9-23)
где 1„ — так называемая длина локализации (Anderson, 1958).
3. Для гауссовского случайного поля E(q) с нулевой корреляционной длиной и, следовательно, с корреляционной функцией
(E(q)E(q)) = const 6(q-q) (9.24)
при d ^ 4 локализованные состояния не существуют, т. е. J5Henp —> оо, в то время как в случае стохастического потенциала с отличной от нуля корреляционной длиной локализованные состояния могут образоваться при любой размерности d (Thouless, 1976; Cardy, 1978; Садовский, 1979).
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed