Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
exp { - F{mf}/T}
X) ехР { - F{m]}/T}
Величину F{m"} мы находим по формуле (10.3), причем вклад в сумму дают только такие конфигурации, которые принадлежат области фазового пространства фазы а. Среднее по конфигурациям свободной энергии в этом случае удается вычислить,
и мы получаем ___
Fa=Nf + fa + o(l). (10.5)
Здесь./ и fa не зависят от N, и /„ — независимые, одинаково распределенные случайные величины (распределение которых известно). Соотношение (10.5) показывает, что при N —> оо главным становится первый, не зависящий от а, член, т. е.
в термодинамическом пределе все фазы имеют одну и ту же свободную энергию на степень свободы. Это — не что иное, как математическое выражение интуитивно ожидаемой эквивалентности различных компромиссных решений при минимизации энергии. С другой стороны, поправки /а определяют вероятности появления различных фаз, так как из соотношений (10.5) и (10.4) при N —* оо следует
ехр{-/а/Т}
7
Поэтому можно ожидать, что при низких температурах с заметно отличными от нуля вероятностями реализуется лишь часть возможных фаз. Для понимания термодинамических свойств фазовых стекол необходимо более детальное знание соотношения между многочисленными чистыми фазами, возникающими при низких температурах, когда происходит замерзание спинового стекла. В частности, если ввести меру «подобия» или «расстояния» между фазами а и /3, то это позволяет рассматривать на количественном уровне сложную топологию пространства состояний. Изящным решением задачи о мере в пространстве состояний может служить так называемое перекрытие qa^ (Parisi, 1983):
-K?0/4l- (Ю.7)
i
Если локальные намагничивания m“ и mf в очень многих узлах решетки равны, то q°P близки к единице, и обе фазы очень похожи. Наоборот, если то“ совершенна не зависит от тото q°p = 0, т.е. между фазами нет никакой корреляции. На эвристическом уровне это означает, что две фазы в этом случае находятся в пространстве на большом расстоянии друг от друга, поскольку перевести одну фазу в другую мы можем, только опрокинув большое число спинов.
Если температура Т в точности равна нулю, то тепловые флуктуации исчезают, и то“ - ±1. В этом случае перекрытие просто зависит от расстояния Хэмминга da^, которое показывает долю несовпадающих знаков двух N-значных двоичных чисел. Нетрудно убедиться в том, что
^=^(1-0- (Ю-8)
Здесь daP — метрика (мера расстояния), характеризующая различие конфигураций, а параметр qa^ служит количественной мерой сходства между двумя фазами. Соответственно, при а — /3 мы подучаем daa = 0 и qaa = 1. При Т = 0 каждая фаза представлена конфигурацией спинов, которая в свою очередь отвечает возможному компромиссному решению задачи на минимизацию энергии. Перекрытие и расстояние Хэмминга позволяют дать наглядное и количественное описание сходства различных компромиссов. Эта проблематика играет важную роль в дальнейшем, когда речь идет об отыскании подходящих численных процедур решения сложных задач оптимизации при использовании свойств ландшафта ценностей. Простая зависимость (10.8) между перекрытием и расстоянием Хэмминга нарушается, когда температура становится отличной от нуля, так как тогда локальные намагничения то" могут принимать произвольные значения между —1 и I, в силу чего возможны, например, случаи, когда qaa < 1. Для описания термодинамических свойств спинового; стекла заведомо не нужно точно знать перекрытия qa& всех возможных пар чистых фаз. Более того, можно ожидать, что вполне достаточно знать, мало или много
существует фаз с большим или малым перекрытием, т. е. каково характерное соотношение между двумя случайно выбранными фазами. Эта информация содержится в распределении P(q), которое показывает, с какой вероятностью система при двух независимых измерениях находится в двух фазах с перекрытием q:
P(q) = р°рр - я*)- (10-9)
<*¦&
Действительно, можно показать (Parisi, 1980), что свободная энергия и, следовательно, все термодинамические свойства функционально зависят от распределения вероятностей P(q), причем в качестве параметра порядка вместо функции q(x),
0 ^ х < 1, обратной относительно P(q), формально удобнее воспользоваться пер-
ч
вообразной распределения P(q), т. е. функцией x(q) — f P(q‘) dq'. В эргодической
-i
фазе функция x(q) есть константа, для ферромагнетиков ниже критической температуры Ткрит она имеет два плато, соответствующих двум чистым фазам. В случае спиновых стекол функция x(q) непрерывно изменяется межау — 9эа и +дэл. где параметр порядка Эдвардса—Андерсона <?ЭА - qaa задает самоперекрытие и тем самым локальный порядок. На рис. 10.4-10.6 представлены графики трех функций P{q), x(q) и q(x) для трех случаев: парамагнетика (а), ферромагнетика ниже Ткрит (б) и спинового стекла ниже Тшм (в).
