Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
Важные для нас наиболее существенные результаты теории спиновых стекал, кратко резюмированные и рассмотренные здесь, получены с помощью методов статистической механики и поэтому имеют под собой прочную основу. Значение проблемы спиновых стекол для теории сложных систем в том и состоит, что спиновые стекла, с одной стороны, достаточно сложны, чтобы в них могли наблюдаться такие явления, как фрустрация и компромисс, но, с другой стороны, достаточно просты и поэтому допускают применение математических методов. Подробное введение в физику спиновых стекол можно найти в различных обзорах (Binder, Young, 1986; Rammal et al., 1986).
Большинство аналитических результатов в теории спиновых стекол соответствуют так называемому приближению молекулярного поля. Это приближение отвечает исследованию модели Шеррингтона—Киркпатрика (ШК), в которой каждый спин взаимодействует с каждым. Модель ШК также описывается функцией Гамильтона (10.2), в которой суммирование проводится по всем парам i Ф j,.a не только, как в'модели ЭА, по ближайшим соседям. Физически это соответствует подавлению корреляций между флуктуациями различных спинов, что сильно упрощает рассмотрение задачи. Тем не менее свойства этого простейшего приближения еще весьма многообразны.
Прежде всего при критической температуре ^зам происходит резкий переход от эргодического поведения к неэргодическому. При высоких температурах доминирует тепловая энергия, и спиновое стекло обладает парамагнитной фазой со свойствами, аналогичными тем, которыми обладает парамагнитная высокотемпературная фаза ферромагнетиков. В этой фазе система эргодична, т. е. все микроскопические конфигурации достижимы из любой начальной конфигурации. По этой причине локальное намагничение при всех * составляет величину пц = (Si) = 0. Здесь, и в дальнейшем угловые скобки означают тепловое среднее значение, т. е. математическое ожидание соответствующей величины при реализации связей Jib а черта над какой-то величиной означает среднее по конфигурациям с распределением вероятностей P(Jij). Равенство {Si) = 0 означает просто, что тепловые флуктуации достаточно сильны, вследствие чего спин в i-м узле решетки одинаково часто ориентирован как вверх, так и вниз.
При понижении температуры до величины порядка характерного взаимодействия J — (Jfj)1^2 между спинами эта эргодичность нарушается: из данного начального состояния теперь достижима только часть фазового пространства. Остальные
области лежат за барьерами свободной энергии, высота которых в термодинамическом пределе N -* оо расходится, в силу чего преодоление их требует бесконечно большого времени. Фазовое пространство разделяется на несколько несвязных областей, называемых его компонентами, или чистыми фазами. Внутри одной фазы система остается эргодической, но переходы между фазами невозможны. Если рассматривать все конфигурации одной фазы, то какой-нибудь спин, например Si, может быть чаще ориентирован вверх, чем вниз, вследствие чего локальное намагничение может быть отлично от нуля. Точнее говоря, каждая чистая фаза а характеризуется набором локальных намагничений mf. Переходы от эргодического к неэргодическому поведению не представляют собой ничего необычного для систем с кооперативными взаимодействиями. Фазовое пространство ферромагнитной модели Изинга также распадается при низких температурах на две области, разделенные барьером, который расходится при N —* оо (N — число спинов). Две фазы отличаются и по значению локального намагничения mf = {Si)a = m“, которое в данном случае не зависит от узла решетки. Кроме того, т1 = —ш2, т. е. одну фазу можно отображать в другую с помощью преобразования симметрии 5, ^ — S, .
Качественно новая особенность переходов в спиновых стеклах появляется уже в числе возникающих фаз. Можно показать, что ниже температуры замерзания ^зам существует около 2 чистых фаз, где о ~ 0,2 при Т = 0 и о —» 0 при Т —* Т^м (Tanaka, Edwards, 1980; Bray, Moore, 1980; De Dominicis et al, 1980). Это возрастающее, очень быстро стремящееся к бесконечности с увеличением N число несвязных областей в фазовом пространстве показывает, сколько различных микроскопических разновидностей спинового стекла может возникнуть в результате замерзания при низких температурах. При Т — 0 каждая фаза соответствует локальному минимуму энергии, т. е. число фаз соответствует качественно определяемым возможностям нахождения компромисса при минимизации энергии. Второе существенное отличие от фазового перехода парамагнетик—ферромагнетик состоит в том, что не существует преобразований симметрии, которые отображали бы одну фазу в другую. -(Преобразование Si —^ —Si, изменяющее число фаз только в 2 раза, во внимание не принимается; оно не характерно для спиновых стекол и может быть исключено, например, с помощью внешнего поля.) Столь сложной структурой фазового пространства обусловлены как новые свойства спиновых стекол, так и математические трудности, возникающие при их теоретическом описании. Появление большого числа чистых фаз ставит вопрос о вероятности их реализации. Если образец спинового стекла очень часто нагревать до температур выше Т^, а затем охлаждать до температур ниже Тзд,,, то сколько раз образец окажется в одной и в другой фазе? Оказывается, что вероятность Ра реализации фазы а, если F{m"} — свободная энергия фазы а, определяется выражением
