Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя термодинамика полностью определяется функцией P(q), введение перекрытия открывает возможность более подробного описания топологии пространства состояний на уровне, задаваемом функцией P(q). Например, интересны соотношения между перекрытиями <Л и д®7 трех произвольно выбранных чистых фаз а, Р и 7. Для вероятности P(q\, <?2, <?з) того, что qap = qt, q1*1 = q2 и = q3,
0
1 9 -1-m2 0 m2 1 Ч -1~9эа 0 9эл1 Ч
в
-1
а б
Рис. 10.4. Распределение вероятностей P(q) для наложения двух чистых фаз: (а) пврамагнетик
P{q) = S(q)-, (б) ферромагнетик P(q) = + т2) + j6(q - т2); (в) спиновое стекло
J1
0 1 Я -1-т2 0 т21 q
Рис. 10.5. Кумулятивное распределение вероятностей x(q) = f P(q‘) dq для тех же случаев, что и на рис. 10.4 -1
-l
Глава 10. Фрустрация и иерархическое упорядочение Ч
-т
-1
Рис. 10.6. Функция параметра порядка q(x) для тех же случаев, что и на рис. 10.4
получается следующий поразительный результат (Mezprd et ai, 1984):
1
Р(Я 1. Я2,9з) = ^Pi.9l)x(qi)6(qi - q2)S(qx - q3) + + ~ [P(q\)P(<k)4qi - qi)t(<h - 9э) + перестановки].
(10.10)
Соотношение (10.10) означает, что для произвольных фаз а, р, 7 либо все перекрытия попарно равны, либо по крайней мере два перекрытия равны и больше третьего. Если фазы интегрировать как точки некоторого пространства, а перекрытие как меру расстояния от этих точек, то все треугольники в таком пространстве должны быть либо равносторонними, либо равнобедренными с более коротким основанием. Пространства с такими топологическими свойствами называются ультраметри-ческими (Bourbaki, 1966). До начала интенсивных исследований по проблематике спиновых стекол ультраметри-ческие пространства не играли никакой роли в физике, хотя в математической литературе они обсуждались с конца XIX столетия (см. Rammal et al., 1986). В результате проведенных исследований было установлено, что любое ультраметрическое пространство может быть отображено на граф, имеющий вид перевернутого дерева (рис. 10.7). Точкам пространства соответствуют концы ветвей; расстояние между двумя точками А и В определяется как число «поколений», которые нужно отсчитать назад, чтобы дойти до общего «предка» точек А и В. Например, на рис. 10.7 = 2, d^c — &вс — 3.
Как нетрудно убедиться на примере графа, изображенного на рис. 10.7, приведенное выше определение расстояния гарантирует, что по крайней мере две стороны любого треугольника всегда имеют одинаковую длину. На математическом языке это означает, что справедливо сильное неравенство треугольника
d*3 шах (dBC, dAC), (10.11)
которое с учетом соотношения между перекрытием и расстоянием представимо в виде
и в эпгой форме эквивалентно соотношению (10.10).
А в С
Рис. 10.7. Генеалогическое дерево в качестве примера ультраметрического пространства. Точки пространства представлены свободными узлами («концами ветвей») дерева, которые соответствуют также самому нижнему уровню иерархии
Какие следствия имеет неравенство (10.12) для соотношения между многочисленными чистыми фазами в пространстве конфигураций спинового стекла? Рассмотрим отношение Rq, которое должно быть определено следующим образом:
«ад(кш)
~ Чэа ^ Я ^ 9эа-
Отношение Д, может означать, например, «подобная q», так как оно возникает только между двумя фазами, перекрытие которых не меньше q. Ясно, что отношение Rq обладает следующими свойствами:
аД,а, (10.14)
так как g** = дэА, и
(10.15)
так как qa(} = <fa (см. формулу (10.7)).
Наконец, из неравенства (10.12) следуют свойства
cxRq/З и PRqj —> aR4 у, (10.16)
так как при qafi ^ q и (f'1 ^ q мы получаем
g"7 ^ min (q<f) > q-
Таким образом, отношение R4 рефлексивно (10.14), симметрично (10.15) и транзи-тивно (10.16), т. е. представляет собой отношение эквивалентности. В качестве такового отношение Rq порождает разбиение чистых фаз на непересекающиеся классы, причем каждая фаза принадлежит ровно одному классу эквивалентности. Тем самым фазовое пространство спинового стекла распадается на множество фаз, которые могут быть разделены на классы эквивалентности, любые два из которых не имеют общих элементов (или полностью совпадают) (рис. 10.8). Все фазы, принадлежащие одному классу, «подобны q». Если определить с помощью соответствия (10.13) еще одно отношение Щ с q < ^ ^ дэд> то все сказанное выше об отношении Rq переносится инаЯ^. В результате каждый из классов эквивалентности, порождаемых отношением Rq, в свою очередь распадается на непересекающиеся классы фаз, имеющие друг с другом перекрытие большее, чем q[ > q (рис. 10.8). Аналогичным образом можно продолжать все более тонкое разбиение на подклассы, пока не будет достигнуто равенство q^ = дэд и каждый класс эквивалентности не будет состоять только из одной фазы. Таким образом, из соотношения (10.10) следует вполне определенная иерархическая организация фаз спинового стекла ниже температуры замерзания Т^.
