Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
cos ур = R/2m - у/R2 /4т2 +2
или
cos ур =
/ 8т1 R / 4т \ 2т
I-Vl+ —г % —Cl — 1 — —г) = -—. R . 2т \ R2 / R
2т Итак,
cos ^ = - 2m/R,
откуда с учетом малости величины 2m/R получим два решения для ^: ypi = я/2 + 2m/R, ур2 = -я/2 - 2m/R.
На рис. 20 показаны прямая AB (решение уравнения (17.22) в первом приближении, уро = 0) и две асимптоты CP и DP решения во втором приближении. Каков же угол а между асимптотами? Именно на этот угол а
180 изменяется направление луча, идущего из бесконечности в бесконечность, при его прохождении вблизи Солнца. Как видно из рис. 20, угол а определяется равенством
CL= ^ -ф2-я =
= 4m/R =4 JliKc2R).
(17.28)
Если R = R&, то а = 1,75". Таким образом, лучи света, касающиеся поверхности Солнца, согласно формуле (17.28) должны отклоняться на угол а = 1,75". Этот вывод был впервые подтвержден во время полного солнечного затмения экспедицией английского астронома А. Эддингтона в 1919 г. Точность первых наблюдений была невелика. В последние годы радиоинтер-ферометрические наблюдения квазаров подтвердили эффект отклонения радиоволн, вычисленный по формуле (17.28) с точностью до 1 %.
Необходимо отметить, что в рамках ньютоновой теории тяготения свет также испытывал бы отклонение при движении вблизи притягивающего тела (Солнца). Однако в нерелятивистской теории отклонение в два раза меньше, чем отклонение в общей теории относительности, определяемое 'формулой (17.28). Таким образом, наблюдения решительно говорят в пользу релятивистской теории.
§ 17.3. Гравитационное смещение спектральных линий
Третий важный опыт — это отыскание зависимости длины волны света от гравитационного потенциала источника, его испускающего. Рассмотрим случай стационарного гравитационного поля — более общий, чем случай сферически-симметричного поля. Поскольку поле стационарное, то существует такая система отсчета, в которой dg?V/dx° = 0. Выберем такую систему отсчета. Пусть в этой системе отсчета источник света Pe и приемник света Pr покоятся. Пусть в точке, где находится источник Pe, в момент излучения временная координата t = te, а в точке, где находится приемник света Pr , в момент приема временная координата t = tr. Пусть из точки Pe непрерьюно исходит излучение (или импульсные сигналы), и оно непрерывно принимается в точке Pr . В силу стационарности поля разность tr — te остается постоянной. Пусть в точке Pe на некоторое время включили источник, а потом его выключили. Приемник в точке Pr некоторое время будет принимать сигналы, а затем прием сигналов прекратится. Пусть Ste- время в точке Pei в течение которого источник был вклю-
181 чен, Str- время в точке Pr, в течение которого приемник в точке Pr принимал то излучение, которое исходило из точки Pe за время Ste. Тогда Ste = (te)2 — (te) і есть разность координатного времени между концом и началом излучения сигнала, Str = (Jtr)2 — (/г) і есть разность координатного времени между концом и началом приема сигнала. Здесь индекс 1 обозначает начало приема сигнала или начало излучения сигнала, индекс 2 — конец приема сигнала или конец излучения сигнала. Очевидно, Str — Ste = = (tr — te) 2 — (tr — te) і. Однако в силу стационарности поля и неизменности условий эксперимента разность tr — te остается постоянной, поэтому имеет место равенство
Str = Ste. (17.29)
Таким образом, промежутки координатного времени излучения сигнала в точке Pe и приема сигнала в точке Pr одинаковы; это есть следствие стационарности поля и неподвижности приемника и излучателя, а также неизменности условий эксперимента.
Для мировых линий приемника Pr и источника Pe, которые в нашей системе отсчета покоятся, соответственно имеем
{bsr? = (-goo), C2(Str)2,
(Sse)2 = (-goo)ec2 (Ste)2, или, с учетом равенства (17.29),
Ssr/Sse = V(-?oo)r/(-Soo)e. (17.30)
Таким образом, промежуток собственного времени приемника, в течение которого излучение принималось, не равно собственному времени излучателя, в течение которого излучение было испущено. Периоды колебаний осциллятора измеряют собственное время. Пусть Tr — период колебаний осциллятора, покоившегося в точке приема излучения, Te — измеренный в точке излучения период колебаний такого же осциллятора, покоившегося в точке излучения. Тогда
TrITe = (Ss)rI(Ss)e = y/(-goo)rl(-goo)el поскольку
cor/o;e = TeITr,
то
сог/сое = V(-?oo)e/(-?oo)r.
Обычно смещение спектральных линий характеризуют величиной
S со/со = (сОр — COe)/COe ,
где сог — измеренная в точке приема частота излучения, пришедшего в точку приема, сое — частота излучения, измеренная в точке, где находится излучатель. Заметим, что эти две частоты относятся к одному и тому же излучению. Тогда
S со _ cor-coe cjr ^ ^/(-goo)e со coe coe (-goo)r
1. (17.31)
182 Для длин волн излучения имеем KIK = V(-?oo)r/(-?oo)e,
отсюда
6Х Xr-Xe К A-Zoo )г
=--1 = V-;--1. (17.32)
X Xe К (~?оо)<
'е
Рассмотрим случай слабого гравитационного ноля. Например, гравитационное поле Солнца на его поверхности является слабым. Для слабых стационарных гравитационных полей имеем
