Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
качестве первых членов разложений по (h0ll)2, малые дисперсионные эффекты
будут включены при переходе к следующему порядку.
Линеаризованные уравнения приводят к (13.74), но, используя теорию части
I, можно получить нелинейные решения, поскольку система является
гиперболической. В частности, для одномерных волн над горизонтальным дном
можно положить
ht 4- (uh)x = 0,
. Г п (13-79)
ut + uux + ghx = 0.
Характеристические скорости равны и ± Уgh, инварианты
Римана равны и ± 2|/gh, и простые волны, движущиеся вправо в
невозмущенную область, где h = k0, определяются равенствами
Л = Я(r), u = 2VgH-2Vgh, x=l + {3VWm~2Vgho}t.
Все такие волны, несущие возрастание уровня, опрокидываются. Поэтому
приходится вводить разрывы, причем условия на разрыве, выведенные из
уравнений сохранения (13.79), имеют вид
- U[uh] + [u2h + Y gh2]=0,
- U[h] + [uh] = 0, (13.81)
как отмечено в (3.53) и (3.54). Это так называемая турбулентная
бора.
Явление опрокидывания является одной иэ наиболее интригующих задач теории
волн на воде. Прежде всего, когда градиенты перестают быть малыми,
приближение h\ll% перестает быть справедливым, так что решение (13.80)
должно стать некорректным задолго до начала опрокидывания. Однако
опрокидывание, несомненно, происходит, и при некоторых условиях оно, по-
видимому, незначительно отличается от описания, заданного формулами
(13.80). Более того, боры, буруны и гидравлические прыжки иногда довольно
хорошо описываются соотношениями (13.81).
Но теория мелкой воды заходит слишком далеко: она предсказывает, что все
волны, несущие возрастание уровня, опрокидываются. Наблюдения уже'давно
установили, что некоторые волны
Гл. 13. Волны на воде
440
не опрокидываются. Таким образом, некорректная теория иногда оказывается
верной, а иногда неверной! Нетрудно усмотреть, как отброшенные
дисперсионные эффекты подавляют опрокидывание, но простые теории,
частично включающие эти эффекты (см. следующий параграф), в свою очередь
заходят слишком далеко и утверждают, что волны вообще не опрокидываются!
Дальнейшую дискуссию мы отложим до более детального учета дисперсии.
Однако до этого мы приведем некоторые результаты теории мелкой воды.
Задача о разрушении плотины
Прежде всего заметим, что классическое решение задачи о разрушении
плотины не содержит боры (что весьма странно) и может
t / //C+
/ Г /
CJyf /
h=HD \//s A=0
/ Ч
х
Рис. 13.3. Характеристики для задачи о разрушении плотины.
быть легко найдено при помощи теории простых волн. Начальные условия
задачи записываются так:
и = 0, -оо <^х<^оо, Л
h - 0, 0 << х << оо, I при t = 0.
h = H0'>0, -оо <т< 0 I
Тогда на каждой положительной характеристике С+, выходящей из области h =
Н0 (см. рис. 13.3), инвариант Римана имеет величину
u + 2Vgh=:2Vgir0. (13.82)
В области, покрываемой этими характеристиками, решение имеет вид простой
волны с веером характеристик С_, проходящих через начало координат и
определяемых уравнением
±. = U-Ygh. (13.83)
13.10. Теория мелкой воды; длинные волны
441
Но равенства (13.82) и (13.83) дают полное решение:
Vrgfc = 4-(2/^o-f),
(13.84)
Между фронтом h = 0, х = 2t УgH0, перемещающимся со скоростью 2УgH0, и
невозмущенным уровнем плотины h - Н0 при х = -tVgH0 свободная поверхность
имеет параболическую форму.
Теория мелкой воды, строго говоря, не справедлива в начальной стадии,
поскольку характерная длина по горизонтали I мала, но по мере развития
течения величина ЩИ2 становится малой и реальное течение описывается
довольно хорошо. Следует отметить, что h =4//0/9, и = 2]/gllJ'A остаются
постоянными в месте расположения плотины х = 0 для всех t > 0. Скорость
фронта существенно изменяется трением; попытки оценить это изменение
предприняты Дресслером [2] и Уиземом [4].
Условия на боре
Условия на боре (13.81) означают сохранение массы и импульса при переходе
через бору, и естественно спросить, что происходит при этом с энергией.
Закон сохранения энергии для уравнений
(13.79) записывается в виде
^YuZh + Ygh2)t+ (|"м3^ + м^2)ж = 0. (13.85)
Это уравнение могло бы дать дополнительно третье условие на скачке, но с
системой (13.79) можно использовать только два условия. Рэлей
предположил, что при переходе через бору энергия в действительности не
сохраняется, и приписал потерю наблюдаемой турбулентности, так что
условие на разрыве, соответствующее уравнению (13.85), учитывать не
следует. Легко показать, что, хотя уравнение (13.79) влечет уравнение
(13.85), однако из условия на разрыве (13.81) следует, что
U^YuZh~\-|"^2]i<0 ПРИ КЖ- (13.86)
Поскольку боры возникают только тогда, когда h2 > hl: именно потеря
энергии согласуется со знаком выражения (13.86). Энергия играет роль,
аналогичную роли энтропии в газовой динамике; в газовой динамике вся
внутренняя энергия включена в подробное описание, так что энергия
сохраняется, и дополнительная переменная в описании допускает
дополнительное условие на разрыве. Турбулентная энергия в (13.85) не
