Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
cos тш0 - 0, "0 = -4L=i.
Полный угол 2со0 равен 120°.
Мичелл [1] численно нашел периодическую волну наибольшей высоты для воды
с бесконечной глубиной и обнаружил, что предельная высота достигается при
а/Х = 0,142, как уже было отмечено выше.
Указанный вывод величины угла при вершине гребня несправедлив для
нестационарных задач. Для стоячих волн теоретические-соображения,
предложенные Пенни и Прайсом [1] и менее убедительные чем в случае,
рассмотренном Стоксом, предсказывают-угол, равный 90°; эта величина
экспериментально подтверждена Тейлором [5].
Гл. 13. Волны на воде
458
13.14. Опрокидывание и заострение волн
Ранее отмечалось, что нелинейные уравнения мелкой воды, пренебрегающие
дисперсией, приводят к опрокидыванию типично гиперболического характера с
образованием вертикального наклона и многозначного профиля. Кажется
ясным, что член с третьей производной в уравнении Кортевега - де Фриза
помешает возникновению этого явления. Но так или иначе приближение
длинных волн, для которого были выведены оба эти уравнения, в
рассматриваемой ситуации несправедливо. Первое уравнение описывает
опрокидывающиеся волны, и хотелось бы учесть в этом уравнении эффекты
дисперсии. Однако добавка, соответствующая уравнению Кортевега - де
Фриза, является слишком сильной для коротких волн. Это ясно из сравнения
выражения (13.94) ¦с полным дисперсионным соотношением, когда (xh0)2
становится •большим.
С другой стороны, дисперсия, включенная в уравнение Кортевега - де Фриза,
приводит к появлению уединенных и периодических волн, отсутствующих в
теории мелкой воды. Для этих решений, однако, уравнение Кортевега - де
Фриза не может -описывать наблюдаемое симметричное "заострение" гребней с
образованием конечного угла на гребне. Опять можно утверждать, что это
мелкомасштабное явление, в котором важную роль играют ¦коротковолновые
компоненты, и предположение (лЛ0)2 1 более
несправедливо. Несомненно, это комбинируется с дополнительными
нелинейными эфффектами.
Волны Стокса включают полные дисперсионные эффекты о)" = = gx th xh0, но,
будучи ограничены малой амплитудой, не дают ни уединенных волн, ни
заострения.
Хотя как опрокидывание, так и заострение, а также критерий возникновения
обоих явлений вне всякого сомнения содержатся в уравнениях точной
потенциальной теории, хотелось бы иметь более простое математическое
уравнение, включающее все эти явления. В свете предыдущих замечаний, по-
видимому, необходимо включить по крайней мере "опрокидывающий оператор"
теории мелкой воды и полное дисперсионное соотношение линейной теории.
Далее, как было указано при выводе уравнения (13.99), в теории мелкой
воды опрокидывание описывается уравнением
'П* + соЦх+ЧТИ* - 0- (13.125)
С1 другой стороны, линейное уравнение,, соответствующее произвольному
линейному дисперсионному соотношению
? = *(*),
13.14. Опрокидывание и заострение волн
459
•согласно (11.12), имеет вид
*+J К(х-|)т]5(?, <)<*? = 0. (13.126)
¦где
К(х) = -^- j c(x)eiJ"dx. (13.127)
Эти два уравнения можно объединить в следующее:
Ч + J ^-0"fe(b")dS = O. (13.128)
Для уравнения Кортевега-де Фриза
с (х) = с0 - ух2, К (х) = с0S (х) + уб" (х).)
Рассмотрим теперь уточненный вариант
с(х) = ^thx/j0j1/2, (13.129)
Kg(x)^4rl (l"thкЪо)1/геЫхЛк. (13.130)
Здесь полная линейная дисперсия комбинируется с длинноволновой
нелинейностью. В терминах параметров а и р из § 13.11 дело обстоит так:
мы сохраняем члены всех порядков по Р и нелинейный член, пропорциональный
а, пренебрегая всеми высшими степенями а и всеми смешанными членами.
Фактически мы могли бы сохранить члены всех порядков по а, взяв
нелинейный оператор из (13.97) и использовав комбинированное уравнение
% + {3V/g(fy) + T]) - 2VVio}T]*+ j к(х-1)щ{1, t)dl = 0;
(13.131)
однако выигрыш, по-видимому, не оправдывает дополнительного усложнения.
Стандартными методами легко показать, что функция Kgcg = lnh0 = l
обладает следующими свойствами:
Kg(x) = Kg(-х),
Kg (х) - (2nx)"il2 при х ->-0Л
Kg (х) ~ ( Y п2х ) 1/2 е~пх!г при х ->¦ оо,
j Kg{x)dx=l.
Гл. 13. Волны на воде
460
Дисперсионный член теперь стал умереннее, поскольку Кй (х) не содержит 6-
функций. Очевидно, поведение функции с Ы) при больших и определяет
поведение функции К (х) при малых х; изменение поведения при больших
волновых числах заменяет 6" (х) на х_1/2 при х ->¦ 0. Анализ полученного
нелинейного интегрального уравнения довольно труден, и уравнение с К = Kg
еще полностью не изучено. Но вопрос был поставлен в более общей
формулировке: математические уравнения какого вида могут описывать волны,
как заостряющиеся, так и опрокидывающиеся? Можно показать, что уравнение
(13.128) описывает такие волны для некоторых довольно простых функций К
(.'/). Это позволяет рассчитывать на положительный ответ для К = Kg.
Решения со стационарными профилями уравнения (13.128) получаются, как
обычно, рассмотрением решений вида т} = т] (X), X = х - Ut. В
нормированных переменных, соответствующих выбору g = h0 = 1, имеем (у==?-
