Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
внимание (13) и непрерывность потенциала простого слоя во всем
пространстве, выводим
и*"= У к + Ук-i = ^*/+ Ук-и-
С другой стороны, равенство (9) дает
vk/ = Щ+и ~ Wh _ |
Эти равенства показываю!, что две гармонические внутри (S) функции Ук +
К*-, и №*+1 - Wk _ | принимают одинаковые значения во всех точках
поверхности (S). Отсюда на основании известных свойств гармонических
функций (гл. 1) заключаем, что
Ук + Ук-i = Wk-I внутри (5). (14)
Это равенство справедливо при всяком ft, начиная с А; = 3.
Допустим, что равенство (8|) справедливо при каком-нибудь к. Заменив в
(14) к на к + 1, получаем
Ук*\ + Ук = Wk+2 ~ Wk внутри (S).
Вычитая отсюда (8а), находим
Ук+i = KV+2 - ^* + 1 внутри (S).
Отсюда заключаем, что равенство (8,) действительно справедливо при всяком
к, начиная с к = 2.
6. Допустим теперь, что к поверхности (.S) приложим принцип Робена,
выражаемый неравенством (60) предыдущей главы. Так как за исходную
функцию при последовательном определении функций рк по формулам
bW2i
(5) принята функция L0 = -------- , удовлетворяющая условию (гл. 1, ра-
ди
венство (35) ) /L0ds = 0, то, как показано в предыдущей главе,
1р*| < УУт*, 0<т< 1.
304
При помощи этого неравенства из (3() выводим
. 1 . & Nrk~l ds . . .
I Ук\<- / I Pfc _ 11 - <---------:--- J <NLTk~l = JV,r*, (14.)
2n r 2n r
где Af, есть,очевидно, число, не зависящее от к. Отсюда при помощи (8() й
известных свойств потенциала двойного слоя выводим
1И'к+|.,-И/к1|-1=1И/к+1 -и/к_,| < yv,Tfc =yvv*+1 (15)
Положим
K = Wk-Wk.r (к -=2,3,4, ...). (15,)
Так как W'k + Wk_x = Wk - Wk-2> т<>> в силу (15),
\W'k+W'k-i 1 < JVY*. (16)
Составим функцию
W' = W2 -(^3 + W2) + (W'A + W3) - (I*'* - H^i) + ... (17)
На основании (16) этот ряд сходится абсолютно и равномерно во всех точках
поверхности (S). Следовательно,
W'= lim (-1)* R?" lim (-О'ЧЙ'* -Й\_,), (18)
или
W= lim (-1 fwke.
Составим теперь потенциал двойного слоя 1 , costр
Й' = ~ / W -- ds. (19)
2ir ri
Так как ряд (17) сходится равномерно на поверхности (S), то 1 , cos
<р 1 , cos
w= Т ~Г ds~ Г /(^з+Wa) -Г ds +
2п г2 2 it г2
l , , cos <p
+ - f(W4 +w>) -Г ds - " "
2it r
или, в силу (151) и (1),
W=W3 - W2 ~(WA - Wi +W3 - И'2) + (И'5 - W4 + WA -W3)- ... Отсюда,
учитывая (1S t), получаем
W = W3 -iW'A + И'з) + (^ + WA)~ ... =
= lim (-l)k+*H/;= lim (-l)k+'({yk_iyk_,)= lim (-l)k" Wke.
fc-"" fc-*- " fc ->¦ "
(20)
Сопоставляя_это равенство с (18), получаем W = - W'. Но из (19) следует,
что Wi = W+ W', т.е., на основании предыдущего равенства, W{ = 0.
305
Следовательно, во всех точках области (D), ограниченной поверхностью (5)
(гл. 1), ^ = 0.
Потенциал двойного слоя W, определяемый равенством (19), имеет,
Э W,
следовательно, внутреннюю нормальную производную --------- = 0. На
основа-
Ъп
dWe
нии третьей теоремы Ляпунова заключаем, что и ------- = 0. Отсюда, припо-
Эя
миная основные свойства гармонических функций, заключаем, что W = 0
тождественно. Следовательно,
W = 0.
Это равенство на основании (20) можно написать в виде
И'з -(W'A+W'3) + (W'S+W't)- ... +(-!)*-' {W'k + W'k_i) =
"(_!)*-¦ W'k =(_!)*-> [(W'k^-W'k)-(W'k^-W'k^) + ...].
Отсюда при помощи (151) и (16) выводим
1^*1 = 1Й\-Й'*-11 <N0rk, (21)
где N0 есть число, не зависящее от к. Это неравенство выражает так
называемый принцип К. Неймайа, который, как видим, является простым
следствием принципа Робена.
На основании доказанного в предыдущей главе можем, следовательно,
утверждать, что неравенство (21) (принцип Неймана) имеет место для любой
конвексной поверхности Ляпунова. Сопоставляя все сказанное, можем
высказать следующую теорему.
Теорема I. Если поверхность Ляпунова (S) такова, что функции рк,
определяемые последовательно по формуле
1 cos ф
Рк= - SРк-1 -7~ ds'
2я г2
какова бы ни была исходная непрерывная функция р0, удовлетворяют
неравенству (принцип Робена)
Ip*-P*-il < Хт*,
где т есть число, меньшее единицы и не зависящее ни от к, ни от исходной
функции ро, то функции, вычисляемые последовательно по формулам
(потенциалы двойного слоя)
1 COS (Л 1 - cosip
И', = - И ~~ ds, ..., Wk=- fWk_t ds, (22)
2я г1 2я г2
необходимо удовлетворяют неравенству \Wk-Wk_x\< NoTk,
какова бы ни была функция /, интегрируемая на поверхности (S).
Это неравенство, выражающее принцип К. Неймана, всегда имеет место для
всякой конвексной поверхности Ляпунова.
7. Неравенство (21) сейчас же приводит к решению задачи Дирихле
методом, впервые примененным К. Нейманом к конвексным поверхностям.
306
Рассмотрим ряд
д' = j If+eW't +e2W'2 + ... +ekW'k+ ...], (23)
где
W\=Wt -f. (24)
Wk (k = 2, 3, ...) определяются равенствами (lSi), а - равенствами' (22).
, Предположим, что к поверхности (S) приложим принцип Неймана (21). В
этом случае ряд (23) сходится абсолютно и равномерно во всех точках
поверхности (S) при всех значениях параметра е , удовлетворяющих условию
I е | < 1.
Пусть / есть непрерывная функция координат точек поверхности (S ), 'при
этом ряд (23) также представляет непрерывную функцию ц тех же переменных.
