Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
СО 9
J J2n (at) e-Pf dt = Q e~&In (~). o
Полагая в этой формуле и учитывая, что получим:
п - 2
Lk(x)=-r===(e*~e-*), У 2т:х
ос
г
J e~aHJ1 = ^7~ (1 - е 4ч*)-
Таким образом, решение задачи о диффузии прямолинейной вихревой нити
будет представляться следующей конечной формулой:
ёг(1- в **). (8.13)
~ 2кг
Легко усмотреть, что полученное решение (8.13) начальному условию (8.3)
удовлетворяет.
Подставляя выражение (8.13) для скорости в (8.4), получим следующее
конечное выражение для вихря:
" = <8-14>
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что выражение
(8.14) для вихря удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.5).
Если подставить выражение (8.13) в (8.6), то получим следующее выражение
для циркуляции:
уЧ
Г = Г0(1 - е~Щ. (8Л5)
Таким образом, циркуляция заданной в начальный момент прямолинейной
вихревой нити будет убывать до нуля.
Из выражения (8.14) следует, что наибольшее значение вихря
имеет место там, где в начальный момент находилась вихревая нить, т. е.
при г= 0. При удалении от этого места вихрь будет резко
*) Кузьмин, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935, стр. 146.
ВРАЩЕНИЕ СФЕРЫ, НАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
337
уменьшаться. В каждом данном месте вихрь будет возрастать от нуля 'до
максимума, наступающего в момент времени
После этого момента вихрь снова будет уменьшаться до нуля. Картина
р^спльюания вихревой нити со временем аналогична той, которую мы получили
в § 3 для диффузии вихревого слоя.
В предшествующих параграфах данной главы рассматривались те случаи
неустановившихся движений вязкой несжимаемой жидкости, для которых
дифференциальные уравнения движения использовались в их точном виде. Для
этих случаев квадратичные члены инерции выпадали из левых частей
уравнений автоматически благодаря тому, что движение частиц
предполагалось либо прямолинейно-параллельным, либо круговым.
При всяком другом характере движений частиц вязкой жидкости решение задач
о неустановившемся движении благодаря наличию в уравнениях нелинейных
слагаемых становится весьма затруднительным. Но если пренебрегать
квадратичными членами инерции так же, как это было сделано в методе
Стокса для задач об установившемся движении в главе V, то задачи о
неустановившемся движении частиц вязкой жидкости во всех случаях
становятся линейными, и к решению этих задач можно применять тот же метод
преобразования Лапласа, с помощью которого решались задачи в
предшествующих параграфах.
Если 1) пренебрегать квадратичными членами инерции, 2) не учитывать
массовых сил и 3) считать, что давление и все компоненты вектора скорости
не зависят от угла <р цилиндрических координат, то дифференциальное
уравнение (6.7) главы II для поперечной компоненты скорости v4 принимает
следующий вид:
Таким образом, для поперечной компоненты v4 скорости при указанных выше
предположениях имеет место самостоятельное линейное уравнение, не
содержащее давления и других компонент вектора скорости. Следовательно,
если для какой-либо задачи граничные условия будут включать только
поперечную скорость и, быть может, её производные по координатам, то
такую задачу можно решать с помощью уравнения (9.1) независимо как от
вида границ, так и от тех или иных предположений по отношению к другим
компонентам вектора скорости частиц жидкости. В качестве примера
рассмотрим с помощью дефференциального уравнения (9.1)
§ 9. Вращение сферы, наполненной жидкостью
(9.1)
неустановившееся движение вязкой жидкости [гл. IX
задачу о вращении сферы, наполненной вязкой несжимаемой жидкостью.
Пусть сфера радиуса а (рис. 88), наполненная вязкой несжимаемой
жидкостью, с момента t = О начала вращаться вокруг оси z с постоянной
угловой скоростью со. В этом случае для поперечной скорости Vy будут
иметь место следующие граничные условия прилипания и начальное условие:
со a sin 0, 1
(9.2)
г = a sin f = 0
О,
при при
где 0 -угол между осью z и радиусом, про-ведённш! из центра сферы к
рассматриваемой точке на её поверхности.
Для решения данной задачи применим метод преобразования Лапласа. Вводя
обозначение
9 .
Р
I
e~pt dt
(9.3)
и проводя преобразование Лапласа над уравнением (9.1) и граничным
условием (9.2), мы приходим к следующей задаче для изображения
д"*--W-V+-Wo,
9 9 \ Г2 1 У /
при г = a sin 9 v* = соа sin 1
(9.4)
Перейдём теперь к сферическим координатам R и 0. Оператор Лапласа от
скорости vv в предположении, что эта скорость не зависит от угла <р,
представляется в виде
Av*
d*vl
2 do* i 02"* ctgfldo*
dFP
R dR
Ri d№-
R* db
Полагая
v* = sin bv(R),
(9.5)
(9.6)
получим из (9.4) и (9.5) для множителя v обыкновенное дифферен циальное
уравнение и простое граничное условие
сPv | 2 dv /2 . р
~R± dR V\R2 "г при R = a v = со a.
dR*
-) = 0; \
(9.7)
С помощью подстановки
Vr
(9.8)
§'91 ВРАЩЕНИЕ СФЕРЫ, НАПОЛНЕННОЙ жидкостью 339
дифференциальное уравнение (9.7) приводится к уравнению Бесселя
+ = (9.9)
Общее решение уравнения (9.8) представляется через функции Бесселя
дробного порядка от мнимого аргумента в виде
