Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндра, заполненного вязкой жидкостью. Пусть цилиндр радиуса а (рис.
86) с момента t = 0 начал вращаться с постоянной угловой скоростью со.
Если учесть условие прилипания частиц жидкости
к стенкам, то рассматриваемая задача будет сводиться к решению
дифференциального уравнения
dvy /d^Vy . 1 dva
I ( T J T ___
dt \ dr% i r dr r2
при следующих граничном и начальном условиях
при г - a v<f - со а,
при t - 0 v<p = 0.
Выполняя преобразование Лапласа над уравнением (6.5) и граничным условием
(6.6) и учитывая при этом начальное условие, можно
(6.5)
(6.6)
328 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IX
привести рассматриваемую задачу определения скорости v9 к задаче
определения изображения этой скорости
d% ( 1 dv\ ..* (Р , 1 \ п. 1
dr* + г dr 'y,f'(v + ry~ ' i (6.7)
при г - a v* = ш a. j
Общее решение дифференциального уравнения (6.7) будет представляться
через функцию Бесселя первого порядка от мнимого аргу-
мента в виде
v4 = А1г (г ]/*?) + ВК± (г ]/"^-).
Учитывая, что функция Kt обращается в бесконечность при г = О, т. е. на
оси цилиндра, мы должны постоянную В приравнять нулю. Определяя
оставшуюся постоянную А из граничного условия (6.7), получим решение
задачи для изображения в виде
^ . (6.8)
Решение же задачи для оригинала будет тогда представляться в виде
интеграла
a-j-4 СО j
",<*/)=-S J <*•"
¦(Yj
'*(-/ i
Особенности подинтегрального выражения (6.9) будут совпадать с корнями
функции Бесселя от мнимого аргумента
'i{aV у)=°- (бл°)
Корни уравнения (6.10) будут чисто мнимыми и будут связаны с
действительными корнями функции Бесселя первого порядка
Mh) = о (6.11)
соотношением
ау/~ = (6.12)
Используя разложение мероморфной функции на простые дроби, будем иметь:
h{p ]/"^ ft=°°
со
^1 ("]/"¦
+ ^6ЛЗ)
?) ' i& р~р*
§ 6] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 329
где
Сп =
ск =
1Л г у ^
р-> О
MaV€
W4)
(6.14)
При вычислении коэффициентов (6.14) были использованы известные
соотношения из теорий функции Бесселя:
h (ix) = - U± (- х),
V 2к-1
Так как
р° (*V
J.w = 2(-1)tw+oT'
l[ (ix) = j[ (x).
I
2%l
ept
dp
1.
a --too
oi-i со
_L_
2тсг
ept.
dp
P-Pk
¦ = е~рь\
то для искомой скорости v<p из (6.9), (6.13) и (6.14) будем иметь
следующее выражение:
Vy (г, t) - та
-?+21г
4< Ф-)
& = 1
W4)
(6,15)
11одсчитывая силу вязкости на стенке вращающегося цилиндра по формуле
(6.4), получим:
к = 1
Умножая силу вязкости (т)а на длину окружности цилиндра и его радиус,
получим выражение для того момента, который должен быть
330
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
приложен к цилиндру, чтобы поддерживать его вращение с постоян ной
угловой скоростью
С возрастанием времени величина момента, необходимого для поддержания
вращения цилиндра с постоянной угловой скоростью, будет уменьшаться до
нуля.
§ 7. Вращение круглого цилиндра в неограниченной жидкости
Пусть вязкая несжимаемая жидкость простирается до бесконечности. Внутри
этой жидкости находится круглый цилиндр радиуса а, который с момента ( =
0 начинает вращаться вокруг своей геометрической оси с постоянной угловой
скоростью со (рис. 87). Если предполагать, что частицы жидкости
перемещаются строго по концентрическим окружностям и на бесконечности они
находятся в со-
Умножая уравнение (7.1) и первые два условия (7.2) на e~i>tdt, проводя
интегрирование и обозначая
L = 4it[i(na2 2 е
ft=i
ОО
(6.16)
стоянии покоя, то данная задача будет сводиться к решению
дифференциального уравнения
(7.2)
v Г
-~= ]e-P*vv(r, t)dt,
(7.3)
для изображения искомой скорости получим:
при г = a v*4=
при г = со и* = 0.
(7.4)
Чтобы удовлетворить условию обращения изображения в нуль на
бесконечности, необходимо из двух частных решений уравнения (7.4),
представляемых в виде функций Бесселя первого порядка от мнимого
§ 7] ВРАЩЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ 331
аргумента, использовать лишь то, которое будет содержать функцию
Макдональда, т. е.
Определяя постоянное В из первого граничного условия (7.4), будем иметь
для изображения:
не имеет корней в правой половине всей плоскости комплексного переменного
z1), где
Если на плоскости комплексного переменного мы возьмём совокупность всех
точек, для которых
то этой совокупности точек на плоскости комплексного переменного, равного
будет отвечать вся плоскость с разрезом вдоль отрицательной
действительной оси от р = 0 до р = оо. Следовательно, подинтеграль-ная
функция (7.6) на плоскости комплексного переменного р не имеет никаких
других особенностей, кроме точки ветвления в начале координат. Вводя в
рассмотрение на плоскости комплексного переменного р замкнутый контур
ABCDEFA, показанный на рис. 80, и
(7.5)
а для оригинала:
(7.6)
Функция Макдональда
Kx(z)
arg z \ < j.
т. . .т.
~2 < arg z < -g >
jo = z2,
!) Ватсон, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949, стр. 562.
332
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IX
проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены в § 2,
