Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
D^2 - 0. (10.26)
Построенное нами решение (10.18) как раз и представляет сумму двух
изображений:
F* = F*1+F*r
Для первого из этих изображений оригиналом будет функция Ft (R, t), с
которой решение уравнения (10.25) связано зависимостью
фх = sin2 b/?1(/?, t),
а для второго - оригиналом будет функция F.2{R, t), через которую решение
уравнения (10.26) представляется в виде
<^2 = sin2bF^(R, t).
§ 10] ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 347
Учитывая (10.24), (10.25) и (10.26), для оператора Стокса от
функции
тока 6, будем иметь:
= = (10.27)
1 v at v at 4
Обратимся теперь к вычислению давления в произвольной точке
и к определению результирующего воздействия вязкой жидкости на шар.
Подставляя выражения (10.24) и (10.27) во второе равенство
(10.4), получим:
1 ( д^х . д^2 \ _ 1 др .
in 0 \d/? dt ' dR dt) р dd "T"
sin 0 \dR dt ^ dR dt J p db ' sin bdRdt'
или
d-P - - - - p sin b
<Э0 - sin bdRdt~ p dRdt
После интегрирования обеих частей этого равенства по углу Ь будем иметь:
р = рсоз 0^7+с. (10.28)
Подстановкой выражения (10.28) в первое равенство (10.4) можно убедиться
в том, что С может представлять собой лишь произвольную функцию от
времени.
На основании (10.19) можно заключить, что изображение функции F2(R, t)
имеет вид
^ = ~SHa2+3a/" 7 + I)- (10-29)
По виду правой части (10.29) легко установить выражение самого оригинала
F2(R, *)=_.g>(aa + 6aj/^ + 3tf). (10.30)
Подставляя (10.30) в (10.28), получим следующее выражение для
давления в произвольной точке вязкой жидкости:
р=рЩ^^ауГ^_ + ъ^с (1031)
Для сопротивления шара мы можем использовать общую интегральную формулу
(4.16) главы III, которая в нашем случае принимает вид
рг= J J (-pcose+p^dS. (10.32)
348 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IX
где w-составляющая вектора скорости, параллельная оси симметрии.
Используя выражения (10.2) и граничные условия (10.6), получим:
w - vR cos f) -sin 0, |
(^-_^sinnj_iav. i (10,33)
a Sm a \d/?2/a |
На основании уравнений (10.25) и (10.26) буцем иметь:
ОН - й №Idh + (I l2I-
д№ - д№ + d№ - sln M, /?2 + ч dt + /?2 j ~ \#a ч dt J'
(10.34)
Используя первое граничное условие (10.10), получим:
- [->¦-\=Vo- (Ю.35)
Так как это равенство справедливо для любого момента времени, то его
можно дифференцировать по времени, т. е.
(ж)"=Ч?1 <'°'36)
Подставляя (10.35) и (10.36) в (10.34) и (10.33), найдём:
Используя теперь выражение (10.30), будем иметь:
(10-37)
С помощью равенства (10.31) и (10.37) подинтегральное выражение в (10.32)
будет представляться в виде
(_pcOs0 + ^)a==-|-P^(a/'^+,)-Ccos6.
Подставляя это выражение в (10.32) и выполняя интегрирование, получим
следующее выражение для результирующего воздействия неограниченной вязкой
жидкости на шар, движущийся прямолинейно и равномерно:
Рг==_6ир.аИ0(1+"уЛ ^)- (Ю.38)
При возрастании времени до бесконечности правая часть (10.38) будет
совпадать с правой частью формулы сопротивления шара при установившемся
движении вязкой несжимаемой жидкости, установленной в главе V.
§ 10] ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
349
Если шар будет перемещаться не с постоянной скоростью, а с переменной, то
решение задачи можно получить с помощью применения формулы Дюгамеля
(1.12) к правой части (10.20). В частности, для результирующего
воздействия вязкой несжимаемой жидкости на шар при его неравномерном
поступательном движении мы получим следующую формулу:
¦ tta-ьУ (() -
(10.39)
ГЛАВА X
РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
§ 1. Развитие ламинарного движения между параллельными стенками
В главе IV были решены задачи об установившемся прямолинейнопараллельном
течении вязкой несжимаемой жидкости между параллельными неподвижными
стенками и в круглой цилиндрической трубе. Предположение о
прямолинейности траекторий всех частиц жидкости может оправдываться
строго только при условии, что сами стенки на всём своём протяжении
являются прямолинейными и .простираются в обе стороны до бесконечности.
Если же стенки по своей длине ограничены и если к тому же у своих концов
они не будут строго прямолинейными, то предположение о прямолинейном
характере траекторий всех частиц жидкости может оправдываться только
приближённо на тех участках, которые будут достаточно удалены от кондов
стенок. Как уже указывалось в § 5 главы IV, ламинарное движение в
цилиндрической трубе ограниченной длины может реально осуществляться при
выполнении двух условий. Во-первых, число Рейнольдса не должно превышать
своего критического значения. Во-вторых, длина трубы, отсчитываемая от
входного её сечения, должна превышать длину так называемого начального
участка, на протяжении которого всякого рода возмущения, неизбежно
возникающие при входе в трубу, будут постепенно уменьшаться. При
выполнении этих двух условий на протяжении начального участка будут
постепенно развиваться те основные признаки ламинарного режима, о которых
была речь в § 5 главы IV.
Задача определения характера движения вязкой несжимаемой жидкости на
