Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
является неподвижной, а параллельная стенка, расположенная на расстоянии
h от первой, начала перемещаться с момента t = 0 с постоянной скоростью U
в положительную сторону оси х
320
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. IX
(рис. 84). Предполагая движение частиц вязкой несжимаемой жидкости строго
прямолинейным и используя условия прилипания для рас-
S\sV.\y^,XS4
т
О
У
сматриваемой задачи, будем иметь:
и
ди
dt
д%и
(Эу2 '
при )/>0 и / = 0 и = О,
при f>0 и 31 = 0 и = 0,
при t >0 и у = h и = U.
(4.1)
W77777777777777777777777777777777Z
Рис. 84. "-г"
Выполняя преобразование Лапласа над
дифференциальным уравнением и граничными условиями, получим:
d*u*
Р"*-
и = °> dyi ч
при у - 0 и* = 0,
при у - h и* - U,
где
U"
D
ОО
I
е~Р*и dt.
(4.2)
(4.3)
Решение задачи (4.2) для изображения будет представляться в виде
shy|/~ v
и*{У, Р)=и-
sh h
V
(4.4)
Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получим
для скорости движения частиц следующее интегральное выражение:
Р
и {у, t) =
ept
sh h
(4.5)
Для вычисления интеграла (4.5) по комплексному переменному надо
установить вычеты подинтегрального выражения. Приравнивая знаменатель
нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса являются чисто мнимыми
и численно равными целому числу я, найдём:
§ 4] ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ 321
Все полюсы будут простыми, поэтому мы можем воспользоваться разложением
мероморфной функции на простые дроби в виде
к - со
Fi (Р) сп _| V Ск
<4-7>
(р) р 1 ^р-Рк к=1
Для определения вычета с0 мы должны умножить обе части равенства (4.7) на
р и затем устремить р к нулю, т. е.
= <4'8)
для определения же вычета ск надо умножить (4.7) на разность Р - Рк и
устремить р к значению рк, учитывая, что
Urn MSL- Hm Faip)~-Ft^ = F'a(j)k). p^pkP-Pk p^pk P-Pk
Таким образом, для коэффициента ск получим:
. _ Ъ(Рк)
Ст. -}----.
с2 (Рк)
В рассматриваемом нами случае (4.5) будем иметь:
(4.9)
7 1
РЛР)
>pt.
Shy/ Б- у/ Б--...
с0 = lim ept = lim -=------------------------ IT' (4-Ю)
р-*° sh h
-/./f
fc3r.3
ePkt sh у /"2p ла i sin -•
/п. л /fen cos feit
?k
2 Y^Pk
Суммируя вычеты (4.10) и (4.11) и подставляя в (4.5), получим следующее
выражение для скорости частиц жидкости:
.^sinM (4i2)
и (У- t)=u
i+4S(-i).r
Выражение (4.12) указывает на то, что при стремлении t к беско-
322
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
нечности распределение скорости становится линейным, т. е.
Таким образом, решение задачи об установившемся движении жидкости между
параллельными стенками получается из решения задачи о неустановившемся
движении при обращении t в бесконечность.
Для силы вязкости на движущейся стенке получим из (4.12):
Для начального момента t = 0 сумма ряда (4.14) обращается в
бесконечность. Следовательно, сила вязкости на движущейся стенке в момент
начала внезапного перемещения её с конечной скоростью будет обращаться в
бесконечность.
Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью
то решение задачи по формуле (1.12) будет представляться в виде
§ 5. Задача Громеки о движении жидкости в цилиндрической трубе
Рассмотрим неустановившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в
круглой цилиндрической трубе в предположении, что
ростей было дано ещё в 1882 г. в работе И. С. Громеки1). Мы будем
г) Г р о м е к а И. С., К теории движения жидкости в узких цилиндрических
трубках, Казань, издание Универс. типографии, 1882. В книге Дюрэнда
"Аэродинамика", т. 111, 1939, стр. 77, в статье JI. Прандтля неправильно
приписывается первое решение рассматриваемой задачи П. Шиманскому; это
решение было дано Громекой на 50 лёт раньше, а при простейшем начальном
условии с учётом действия силы тяжести решение было дано ещё Навье (см.
введение).
ОО
lim и (у, t)= U.
_Л. rv-N Л
(4.13)
U = U (t),
t
и(у, t)=U(Q)u1(y, 0 + J* и'(-)и1(у, t - z)d-z, (4.15)
0
о
где
к-со jarLa sjn foy
kW sin
kny
ПГ
-1 - Рис. 85.
по двум её сечениям, находящимся на расстоянии I, распределены давления
рг и р2 (рис. 85). Решение этой задачи при переменных давлениях pt и р2 и
при произвольном начальном распределении ско-
§ 5] ЗАДАЧА ГРОМЕКИ О ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ 323
рассматривать тот случай, когда давления рх и р2 во времени не меняются,
а в начальный момент ? = 0 жидкость находится в покое. В силу этих
предположений движение вязкой жидкости будет осесимметричным, т. е.
<5Л)
где 6 - полярный угол, проведённый в плоскости yOz, перпендикулярной к
оси трубы. В полярных координатах дифференциальное уравнение (1.4)
прямолинейного движения вязкой жидкости при использовании (5.1)
представится в виде
ди dt
' Ura г дг) р дх' (5'2)
В рассматриваемом нами случае последнее слагаемое, представляющее собой
перепад давления, отнесённый к плотности, будет постоянным, т. е.
- - -- - Рх = const. (5.3)
р дх рI 1 4 '
Начальное условие и условие прилипания будут иметь вид:
при t = 0 и - 0,
о I (5-4)
при г = а и = 0. J
