Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Слёзкин Н.А. -> "Динамика вязкой несжимаемой жидкости" -> 114

Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.

Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости — М.: Технико-теоретической литературы, 1955. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikavyazkoynesjimaemoyjidkosti1955.pdf
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 170 >> Следующая

начальном участке цилиндрической трубы впервые решалась в работе
Буссинеска *) с помощью ряда допущений и упрощений дифференциальных
уравнений движений вязкой жидкости в цилиндрических координатах. Затем
эта же задача решалась Шиллером 2) путём сопряжения прямолинейного
профиля распределения скорости
1) Boussinesq J., Comptes Rendus de ГАс. d. Sc., т. 113, 1891, стр. 9 и
49.
2) Шиллер Л., Течение жидкостей в трубах, ОНТИ, 1936.
§ 1] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬН. СТЕНКАМИ 351
в ядре течения с параболическим профилем распределения скоростей в
пограничном слое. Таким же способом Л. С. Лейбензоном х) была решена
задача о начальном участке для течения между параллельными неподвижными
стенками.
Систематическое исследование вопроса о начальном участке течения в трубах
и в диффузорах было выполнено в работе С. М Тарга 2) с помощью
приближённых уравнений.
Пусть две прямолинейные и параллельные стенки простираются до
бесконечности лишь в одну сторону (рис. 90). Обозначим расстояние между
стенками через 2А. Начало оси х выберем в середине расстояния между
концами стенок. Для определения движения на начальном участке применим
уравнения, формально совпадающие с приближёнными уравнениями
(5,1) главы VIII:
ц ди 1 др
дх
tР -
ду ди | дх~*~ ду
_L "У I
р дх ду2 '
0,
dv
0.
(1.1)
-и-
¦1
т
-2h ¦
Рис. 90.
В этих уравнениях квадратичные члены инерции учтены лишь частично в
первом уравнении, а слагаемые от вязкости учитываются так же, как в
теориях смазочного и пограничного слоя. Множитель U представляет собой
среднюю по сечению скорость.
Сформулируем теперь граничные условия. На стенках должно выполняться
условие прилипания жидкости к стенкам, т. е.
:А, л: > 0, и = 0, v = 0. (1.2)
при у:
Расход жидкости через 'каждое сечение рассматриваемой плоской трубы
должен оставаться одним и тем же, т. е.
н
J и dy = 2hU. (1.3)
-h
К граничным условиям (1.2) и (1.3) необходимо присоединить условие у
входа в трубу. Рассмотрим тот простейший случай, при котором основная
компонента скорости и по начальному сечению трубы распределяется
равномерно, т. е.
при х = 0 и - U. (П4)
1)Лейбензон Л. С., Руководство по нефтепромысловой механике, ч. 1.
Гидравлика, ГОНТИ, 1931, стр. 33.
2) Тарг С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостех-издат,
1951.

Развитие ламинарного движений жидкости
[гл. х
Из последнего уравнения (1.1) для поперечной компоненты скорости v
получим:
Используя равенство (1.3), легко видеть из (1.5), что условия обращения
скорости v в нуль на стенках будут выполнены.
Проводя интегрирование левой и правой частей первого уравнения (1.1) по
переменному у, получим:
Отсюда, учитывая (1.3), получим следующее выражение для перепада
давления:
Таким образом, рассматриваемая задача сводится только к определению
основной скорости и из следующего дифференциального уравнения
параболического типа:
Уравнение (1.7) и равенства (1.5) и (1.6) будут иметь место при любом
распределении основной скорости у входа в трубу.
В рассматриваемом нами частном случае (1.4) начального распределения
скоростей можно полагать, что распределение скоростей в произвольном
сечении плоской трубы будет симметричным по отношению к средней линии. В
таком случае будут иметь место следующие равенства:
получим из (1.7) следующее дифференциальное уравнение для определения
основной скорости:
у
у
(1.5)
h h
(1.6)
ди д2и
ду2 2 h
V
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Обозначая
(1.10)
ди Ld2u k (ди
§ 1] РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬН. СТЕНКАМИ 353
Уравнение (1.11) необходимо решить при следующих граничных условиях:
при х = О и = U,
п ди п
ПРИ .У = 0 ду=0' при у = h и = 0.
(1.12)
Сопоставляя данную задачу решения уравнения (1.11) при граничных условиях
(1.12) с задачей неустановившегося прямолинейнопараллельного движения
между параллельными стенками, простейший случай которой был рассмотрен в
§ 4 главы IX, мы видим много общего. Это обстоятельство указывает на
возможность использования при решении данной задачи того же метода
операционного исчисления, который использовался при решении задач в главе
IX.
Вводя преобразование Лапласа по независимому переменному х от искомой
функции и
е~Рхи(х, у) dx =
"*(А У)
(1.13)
и используя первое граничное условие (1.12), будем иметь:
ОО
= + а* = -и + и\
(1.14)
Если уравнение (1.11) и второе и третье граничные условия (1.12)
подвергнуть преобразованию Лапласа, то данная задача по определению
скорости и (х, у) будет сведена к следующей задаче определения
изображения этой скорости:
dW _р_ •_ Lit л- 1 ldu*
dy* k k '
при .У = 0 = 0,
(1.15)
при у = h ur = 0.
Решение дифференциального уравнения (1.15) для изображения будет
представляться в виде
У
и* = Aer + У * V-\-U - ¦
Pft\dy }h
Дифференцируя обе части (1.16), получим:
1
- ^{аУ кУ - Ве~'\/ГРкУ),
(1.16)
(1.17)
554 РАЗВИТИЕ ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ |гЛ. X
Используя граничные условия (1.15) и равенство (1.17), получим для
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 170 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed