Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
Проводя преобразование Лапласа, т. е. переходя от оригинала к изображению
в уравнении (5.2) и граничном условии (5.4), получим:
_L_ _L -и* - - (5 54
dr% ' r dr ч v ( • /
при г - а и* - 0.
Независимыми решениями уравнения (5.5) без правой части будут функции
Бесселя от мнимого аргумента
а частным решением уравнения (3.5) с правой частью будет постоянная
Рх
D
Таким образом, общее решение уравнения (5.5) будет иметь вид
и*(г, р) = А10(гуГ-?) + ВК0(г/-f)+^.
Так как функция К0 обращается в бесконечность при г = 0, то необходимо
постоянную В положить равной нулю. Для определения
324 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IX
постоянной А используем граничное условие (5.5). В результате всего этого
для изображения скорости будем иметь:
^ -'<>(* Ут]
и (г, р)= 1-----------------------, (5.6)
4 •/*)
а для оригинала:
л 7" '-(У?)-'•(*/!
// С/* ;zz: ¦- - I 6^ ---------------=--------------
ы.-1 /.(*/"
Используя разложение (4.7) и равенства (4.8), получим:
'-У')-'•(*/')
с0= lim------------------ , (5.8)
/*("/ /
'с/ У-)-1ч(аУ
ск = ^ V ¦ AJL .lL . 2 (5.9)
Pk?0
(У 7)"
Функция Бесселя от мнимого аргумента представляется следующим рядом:
/оМ=.+шиш
(1J)* ^ (2!)*
Подставляя этот ряд в (5.8), получим:
со = (5.10)
Между функциями Бесселя от мнимого аргумента и от действительного имеет
место следующее соотношение:
/"w = i~nJn(ix)- (5.11)
На основании этого соотношения корни уравнения
Уа Уv)=°
будут представляться в виде
1аУ ^- = h, (5.12)
§ 5] ЗАДАЧА ГРОМЕКИ О ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ 325
где - корни функции Бесселя нулевого порядка
JQ(lk) = 0. (5.13)
Подставляя значения корней (5.12) в правую часть (5.9), получим:
ск = 2е
а2/ *
а*
/о (- Л*)
На основании одного из рекуррентных соотношений для функций Бесселя
имеем:
/о (- i'Kk) = - h W'k) - J Л Ч) - - tJi (Ч)-
.Следовательно, коэффициент ск будет окончательно представляться в виде
ск -~а
h (Ак)
(5.14)
Суммируя (5.10) и (5.14) и подставляя в (5.7), получим решение
рассматриваемой задачи в виде следующего ряда:
"(г. 0 = Pi-?
1
/¦а
а"
к - со
xl j0(ik-)
А 4МЧ)1
к = 1
(5.15)
Чтобы получить формулу для расхода, умножим обе части (5.15) на 2nr dr,
проинтегрируем от 0 до а и воспользуемся рекуррентной формулой
а
j J0 (л;) х dx = aJt (а).
В результате получим:
Q:
Рха*
8v
к - со -V -- t
е аа
Й = 1
(5.16)
Формула Пуазейля (5.9) главы IV получится из (5.16) при предельном
переходе времени t к бесконечности.
Для силы вязкости на стенке цилиндрической трубы будем иметь:
к =СО -V -- t
ХЛ е а
•4 2
к = 1
X
к
(5.17)
020 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
Для корней функции Бесселя п-го порядка имеют место следующие равенства
*):
ОО
1 1
22(п + 1)
1 1
II - 24(л+1)2(л+2)
(5.18)
В нашем случае п = 0. Полагая в (5.16) и (5.17) t = 0 и используя (5.18),
получим, что для начального момента расход и сила вязкости на стенке
обращаются в нули:
.:: I
С возрастанием времени расход (5.16) и сила вязкости (5.17) на стенке
будут возрастать и приближаться к своим предельным значениям, имеющим
место при установившемся движении вязкой жидкости в круглой
цилиндрической трубе.
§ 6. Неустановившееся круговое движение вязкой жидкости
Если предполагать жидкость несжимаемой, пренебрегать действием массовых
сил и считать движение жидкости плоско-параллельным, то дифференциальные
уравнения (6.6) и (6.7) главы II в полярных координатах г и <в будут
представляться в виде
dvr dvr vv dvr г*2 ! dp / vr 2 dvт
dvr v 0vr ir 1 op / vr i ov^\
Vr~d7~^ r r ~ p dr V r r2 r2
dvv , v" dv" vrvv 1 dp ( Va 2 dvr\
dvr vr 1 dvv dr ' r 1 r dy
(6.i)
Для кругового движения частиц вязкой жидкости радиальную компоненту
скорости vr необходимо положить равной нулю:
iv = 0.
Тогда из уравнения несжимаемости (6.1) получим:
^Г = °- <6-2>
1) Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, 1935, стр. 112.
§ 6] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 327
Считая давление р не зависящим от полярного угла ср, из первых двух
уравнений (6.1) будем иметь:
др
dvy (d^Vy
р дг '
1 dvf г дг
Hi
Г2
(6.3)
Первое уравнение (6.3) может быть* использовано для определения давления,
после того как из второго уравнения будет определена скорость vv частиц
жидкости.
Скорость деформации сдвига в полярных координатах согласно
(8.9) главы I представляется в виде
2а,
ТСр •
1 dvr dvy г д? "1" дг г
Следовательно, сила вязкости для кругового движения частиц жидкости будет
определяться равенством
(dVa
X = 2psr? = [X ^
(6.4)
Дифференциальное уравнение (6.3) для определения скорости принадлежит
также к параболическому типу. Решение этого уравнения может быть
проведено аналогично тому, как
это было сделано выше по отношению к диффе-
ренциальному уравнению (5.2) для неустановившегося прямолинейного
движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.
В качестве простейшего примера кругового движения частиц вязкой жидкости
рассмотрим задачу о вращении вокруг своей оси бесконечного круглого
