Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
получим:
К,
'>(•/тУ
i /•-
О
/ а/а \ а
/ ria \
У v / da
- aict\ а
V*
(7.7)
Для малых значений аргумента функция Кг(х) имеет порядок -, поэтому
Ма/ f
а
г
(7.8)
р О
Функция К1{х) связана с функцией Ханкеля Н[1] (ix) и обычными функциями
Бесселя следующей зависимостью:
Кх (- ix) =
Поэтому будем иметь:
яУу)
[ЛИ+ (¦")]•
*(-?) *¦(#) ЧУ)+УУ) ЧУ)-да'(У)
= - 2 (¦
_2 / Ла
(7.9)
Подставляя (7.8) и (7.9) в (7.7), получим выражение для скорости
кругового движения частиц жидкости в виде
ДИФФУЗИЯ ВИХРЕВОЙ нити
333
Вычисляя силу вязкости на стенке вращающегося цилиндра по формуле (6.4),
получим:
/
-ч=И-
я у V J
Для вронскиана функции Бесселя мы имеем: j'1(x)N1(x)-J1(x)N'1(x) =
dа
(7.11)
2_ -х '
Умножая силу вязкости (7.11) на длину окружности и её радуис, получим
следующее выражение для момента сил вязкости:
- 4тгцо
ии
+1 ]•
-О.Ч .
1
da
о / йа
I \ , ..2 / аа
"4yw чу^г.
Чтобы вращение цилиндра в неограниченной жидкости происходило с
постоянной угловой скоростью, необходимо приложить к цилиндру переменный
момент, равный правой части (7.12). С возрастанием времени величина
момента, необходимого для поддержания вращения с постоянной угловой
скоростью, будет уменьшаться до своего предельного значения, отвечающего
установившемуся круговому движению частиц неограниченной вязкой
несжимаемой жидкости.
§ 8. Диффузия вихревой нити
Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения вязкой
несжимаемой жидкости без учёта сил из (6.4) главы II представляются в
виде
• (7.12)
ди
dt
dv
dt
ди
ди
дх
dv
ду
dv
¦ v Ди, v Ду.
J др р дх 1 др
дх и ду р ду
Исключая перекрёстным дифференцированием давление, используя уравнение
несжимаемости и выражение для вихря
получим следующее дифференциальное уравнение для вихря:
v Д2. (8.1)
да , й , дй
dt
дх
004
неустановившееся движение вязкой жидкости [гл- IX
Левая часть (8.1) представляет - собой индивидуальную производную по
времени от вихря, поэтому при переходе к полярным координатам будем
иметь:
3Q | д?1 . дй А" оч
di + vrdF + ~Tdt = '1^- (8-2)
Рассмотрим теперь задачу о диффузии прямолинейной вихревой нити. Пусть в
начальный момент t = 0 распределение скоростей частиц безграничной
несжимаемой жидкости совпадает с распределением скоростей вокруг одной
прямолинейной вихревой нити, расположенной вдоль оси z, т. е.
(м=о=ё (8-з>
где Г0 - начальное значение циркуляции вихря. Попытаемся выяснить:
1) как будет изменяться благодаря вязкости циркуляция заданной
вихревой нити в последующие моменты времени и 2) как
вихревое
движение в силу вязкости будет передаваться от одних частиц
к другим.
В данном случае движение частиц и в последующие моменты времени останется
круговым. Для кругового движения частиц единственная компонента вихря на
основании (8.10) главы I будет представляться в виде
22 = 7-57 (/4V>- (8-4)
Так как скорость не зависит от угла ср, то выражение для вихря также не
будет зависеть от этого угла. Поэтому дифференциальное уравнение (8.2)
для вихря в круговом движении будет иметь вид
f = -A2. (8.5)
Обе части равенства (8.4) умножим на площадь элемента
г dy dr
и проведём интегрирование по площади окружности произвольного радиуса г:
2п Г г 2п
*Я Qr dy dr - Я d (rvv) dy = 2яrvv.
oo oo
Левая часть полученного равенства представляет собой полный поток
вихревых линий, пронизывающих площадь введённой окружности, который по
теореме Стокса равен циркуляции вектора скорости по этой окружности.
Обозначая эту циркуляцию через Г, получим:
r=2unv (8.6)
Таким образом, для определения циркуляции необходимо установить выражение
для самой скорости частиц жидкости. Попытаемся это
§ 8] диффузия вихревой нити 335
выражение для скорости найти с помощью решения (7.10) задачи о вращении
цилиндра в безграничной жидкости. Подставляя в это решение вместо угловой
скорости вращения цилиндра выражение
_ Го ш ~~ 2лаз '
будем иметь:
' s> .J
(8.7)
Будем теперь радиус цилиндра а уменьшать до нуля. Из приведённого в § 6
разложения функции Бесселя первого порядка следует, что
гг.[у'Ш=°- (8-8)
Для функции Неймана имеет место следующее разложение:
/ г \ач+1
оо с iWrM v + 1 М
lM = iyl(4"?+c)-A_ISiyy_[SI+Sy.
Лч' 7lA '\ Z'/ 71ЛГ 71
v = 0 т~ 1
На основании этого разложения заключаем, что
M(*)*Uo = -lP
2-уг
(8.9)
Подставляя в выражение (8.7) предельные значения (8.8) и (8.9), получим:
СО
^=ё[ЧУ/'-*'Чт?Н- (8Л0)
Если в правой части этого равенства время t увеличить до бесконечности,
то скорость частиц жидкости будет стремиться к тому выражению, которое
имеет место для одной вихревой нити:
= 2Гг- (8Л1)
Составляя разность правых частей (8.11) и (8.10), получим следующее
выражение для скорости частиц жидкости:
<8Л2>
336
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IX
Покажем, что данное выражение и будет представлять решение
рассматриваемой задачи о диффузии прямолинейной вихревой"нити.
В теории бесселевых функций приводится следующая интегральная формула1):
