Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
y = Ah,t[R /"¦?) + ?*,,,(/? |/ ^).
Так как функция /Су, {r j/~обращается при R = 0, т. е.
в центре сферы, в бесконечность, то постоянную В необходимо положить
равной нулю. Определяя постоянную А из граничного условия (9.7), получим:
, та
А -
{'V •?)
Таким образом,, решение задачи (9.4) для изображения поперечной
скорости г>* будет:
rs'•/,(*/'?) v* - юа sin О У 4- . (9.10)
(r) " К г ( / v\
h
¦•('V т)
Переходя от изображения (9.10) к оригиналу, получим поперечную скорость
- °У°°
_/ а . й 1 р< '*\ г v / dp /пил
t"f = -ey j е* (9.11)
"-<00 Л/, ( а У -)
Особенности подинтегральной функции (9.11) будут совпадать
с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента
А.("/?) = ".
Корни этой функции будут чисто мнимыми. Они будут связаны
с действительными корнями функции Бесселя
А.(**)-0 (9.12)
соотношением
340
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗкОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. ik
Функция Бесселя А^(х) выражается через элементарные тригонометрические
функции в виде
J>uix) = Vh^r-с03*)-
Поэтому корни уравнения (9.12) будут совпадать простого трансцендентного
уравнения
(9.14) с корнями
tgA = *. (9.15)
Используя разложение мероморфной функции, будем иметь:
/,(/?/¦ -
Со
Ск
Р-Рк
p4,{a\f -?)
где коэффициенты с0 и ск представляются в виде
(9.16)
h, [R
Ск
PkI:U
(д |/"
р->0
(>*)
(9.17)
Подставляя разложение (9.16) в (9.11) и используя соответственные
значения интегралов и выражения для коэффициентов (9.17), получим для
поперечной скорости частиц жидкости внутри вращающейся сферы
окончательное выражение
=.л m в [ 1+2 (")¦¦¦^^1 ¦
к = 1
(9.18)
Из полученной формулы (9.18) следует, что с возрастанием времени скорость
частиц жидкости приближается к предельному своему значению, равному
скорости частиц твёрдого шара при его вращении вокруг неподвижной оси.
Определим по формулам (6.9) главы II ту часть силы вязкости на
поверхности самой сферы, которая отвечает одной лишь поперечной скорости
v9. Имеем:
= "i(w)e-f4"sin 0- (9Л9)
§ 10] ДВИЖЕНИЕ ШАРА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 341
Вычисляя на основании (9.18) производную от скорости по радиусу и
используя граничное значение этой скорости, получим:
Следовательно, сила вязкости на поверхности сферы будет представляться в
виде
Умножая левую и правую части (9.20) на элемент поверхности сферы a2 sin 0
db и на расстояние до оси вращения a sin 6 и интегрируя по всей
поверхности сферы, получим следующее выражение для момента сил вязкости
относительно оси вращения:
Чтобы осуществить вращение сферы, наполненной вязкой несжимаемой
жидкостью, с постоянной угловой скоростью, необходимо приложить
переменный момент, равный правой части (9.21).
Сопоставляя выражение (9.21) для момента сил вязкости частиц жидкости,
наполняющей сферу, с выражением (6.16) для момента сил вязкости частиц
жидкости, наполняющей круглый цилиндр, мы видим много общего в этих
выражениях. Для случая цилиндра радиус входит во второй степени, но в
качестве третьего линейного измерения входит длина цилиндра, которая в
формуле (6.16) равна единице. Различие имеется только в отношении
числовых множителей и в значениях корней соответственных функций Бесселя.
§ 10. Движение шара в неограниченной вязкой жидкости
Если пренебрегать квадратичными членами инерции, не учитывать действие
массовых сил и считать движение частиц осесимметричным, то
дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (6.10) и
(6.11) главы II в сферических координатах представятся в виде
0'в?)в = 2H'"siri0
Ь К
к-со к ?
(9.20)
LZ - а8 I* I* 0% )а sin'2 0 d(? db - Д 2 е
(9.21)
342
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IX
На основании первого уравнения (10.1) можно ввести функцию тока
осесимметричного движения жидкости, полагая
VB =
1 д<1>
/?2 sin 0 <Э0
1
\
V*~R sin 0 dR •
Используя обозначение оператора Стокса
г-. d2 I sin 0 д / 1 д \
последние два уравнения (10.1) можно представить в виде
1
дЦ
________________ }_др_ I
Z?2 sin 0 dt дЬ р 3R
1 д2ф 1 др
ч dDty Я2 sin 0 1ПГ '
sin 0 dR dt
__________ ^ I
7 ли т
dD<!p
(10.2)
(10.3)
(10.4)
р d0 ~ sin 0 dR " j
Исключая из уравнения (10.4) давление, получим для функции тока следующее
дифференциальное уравнение с частными производными четвёртого порядка:
dDty
dt
- : vD D-'j.
(10.5)
Полученное дифференциальное уравнение (10.5) применим к задаче о
неустановившемся движении шара в неограниченной вязкой жидкости.
Пусть шар радиуса а движется с постоянной скоростью V0 параллельно
положительному направлению оси z в неограниченной вязкой несжимаемой
жидкости (рис. 89). Граничные условия прилипания частиц жидкости к
поверхности шара будут представляться в виде
п 1
при R = a vR=-
- Vn cos I
R? sin 0 <?0 0
fe =
_ 1
R sin 0 dR
- : - Vn sin
(10.6)
К граничным условиям (10.6) необходимо присоединить условие отсутствия
движения частиц жидкости на бесконечности:
при R = оо vB = 0, г"9 = 0.
(10.7)
Что касается начального условия в рассматриваемой задаче, то его пока
