Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
А, В, С, Ао, ..., ... , (4.19)
А', В', С' Ао, .... А\ (4.20)
Каждому mg S' будут соответствовать элементы coAeSA, сов е SB, ...,
coxeSx, ..., а также элементы coA'eSA', <вв'е SB', ..., е Sx', . .. . Как
и прежде, мы при желании можем представлять себе сох просто как пару (о),
X) и т. д. Кольцо S будет трактоваться как комплексные С°°-функции на Ж'.
S = Т(r) г'Т. (4.21)
Различие между штрихованными и нештрихованными индексами возникает из
следующего требования: если каждый модуль SA, SB, . .. над S канонически
изоморфен S*, то каждый модуль SA', SB', . . . над S канонически
антиизоморфен S*. Иначе говоря, если ).,(iG S, а а, р, ye S', причем \ =
Ы + цР, то
ух = Ках + цРх и ух' = Ках' + ДРГ. (4.22)
Таким образом, мы будем рассматривать каждый эле-%
мент <в как комплексно-сопряженный по отношению
4. ПРОСТРАНСТВ А-ВРЕМЕН А СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ 49
к соответствующему и>х и будем иногда писать
со* = ш*', пх'- лх. (4.23)
[Можно представлять себе операцию комплексного сопряжения как замену
списка (4.19) на список (4.20), когда эта операция распространяется и на
индексы.] Спинорная система строится тогда в точности, как в разд. 3, но
с тем условием, что свертывание и замена индексов могут касаться лишь
индексов одного и того же типа (т. е. лишь штрихованных или лишь
нештрихованных). Так как замена индексов не приводит к перестановкам
штрихованных индексов с нештрихованными, относительную расстановку
штрихованных и нештрихованных индексов мы будем считать несущественной.
Напротив, будет важно (в большинстве случаев) следить за порядком
индексов одного и того же типа, даже если одни из них верхние, а другие -
нижние. Так, например,
РАЛ'в'bQ = PA'AbQb' = РАв в' =*= Paa'Qbb" (4-24)
Комплексное сопряжение - это пятая операция, в дополнение к (3.11)-
(3.14), действующая на спинорную систему {S}:
комплексное сопряжение:
(4.25)
с X ... ZW' ... У' с W ... УХ' ... Z' 4 1
эр ... sq' ... и' ... up' ...s'-
Эта операция применима очевидным образом [ср. с (4.23)] к каждому
элементу рх ¦ ¦¦ ZJ' ¦ ¦ Y^Q, v" представленному в виде разложения типа
(3.9).
Мы еще не отразили в аппарате спинорной алгебры того факта, что
матрицы (^1щ) должны быть унимо-
дулярными. Условие унимодулярности можно запи-
сать либо в виде
= (4.26а)
либо в виде
Bsss = (4.266)
50 4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ
Здесь использован символ Леви-Чивиты
Обозначим элементы SAB и SAB, компоненты которых в некотором базисе имеют
вид (4.27), сответственно как еАВ и еАВ. Тогда из (4.26) видно, чю еАВ и
еАВ инвариантны относительно активного прюбразования симметрии S'(Р),
имеющего вид (4.18). Мы будем рассматривать еАВ, еАВ и комплексно-
опряженные им ел,в" гА'в' как основной элемент внуненней структуры
спинорной системы. (Более постедовательно было бы писать гА,в, вместо
ъА,в, и гА'в> вместо еа'в', но обычно черточки опускают.) Любой базис, в
котором компоненты ета имеют вид (4.27) называется нормированным базисом,
или спиновой системой отсчета.
Символ Леви-Чивиты, в частности, эбеспечивает установление канонического
изоморфизм между S* и дуальным ему S., Это достигается пугем поднятия и
опускания спинорных значков:
(В связи с этим возникает ощущение, чю использование сразу и верхних и
нижних значюв излишне. Сохранение различий между ними, в с/щности, вопрос
"бухгалтерского учета". На самол деле ведь можно пользоваться
обозначениями, стирающими эти различия, но тогда мы столкнемся с
непшвычной ситуацией, когда спин-векторы антикоммутлруют! Я следую в этом
отношении традициям.) Замешм, что
(4.28)
==1;;;Л';;;1 (4.29)
х
(4.30)
X
(и аналогично для штрихованных индексов) вследствие антисимметрии
&лв~ - вва> гАВ = - евл. (4.31)
4. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА СО СПИНОРНОЙ СТРУКТУРОЙ 51
Поэтому нужно внимательно следить за порядком индексов, поднимая и
опуская их. По этой же причине, а также во избежание недоразумений в
обозначениях на дальнейших этапах, мы не будем пользоваться символами Ьв
и типа (3.18). Вместо них введем эквивалентные символы едА и. ев,А', для
которых
?авЬсв = е/ = - всА] б/ = 2; (4.32)
г::в:::==е.Л:::0 г::в:::=&:::л::аЛ ^33)
Итак, евА обладает свойствами (3.19), которых мы требовали бы от 8в-
(Отметим, что операция поднятия и опускания индексов здесь согласуются
друг с другом.) При любом выборе спиновой системы отсчета бяу1, бл5(
имеем
Если спинор антисимметричен по трем или более индексам, он тождественно
равен нулю (в силу дву-мерности). Поэтому
Zab4d + ЬасЪв + ЬаоЧс = 0. (4.35)
Одно из следствий (4.35) состоит в том, что если Zr-A-в- антисимметричен
по А и В, т. е.
?...л...в...= ?...в...л...> (4-36)
то
1...а...в..-\*лв1...х..Х.., (4-37)
Это свойство тесно связано с представлением группы SL{2, С), так как
указывает на тот факт, что лишь спиноры, полностью симметричные по всем
нештрихованным индексам и по всем штрихованным индексам, не могут быть
сведены к более простым. Говорят, что компоненты спинора с г
симметричными нижними нештрихованными индексами и с s симметричными
