Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
однородных космологических моделей с интервалом Pg(t)
ds2 = - т-^-ш (dr2 + r*de* + r2sinaedcpa) -f dt2. (166.1)
1 + Л4Я§]!
*) Вопрос о поведении моделей Вселенной в эпоху больших плотностей сейчас
изучен значительно полнее. По-видимому, существование особенности в
решениях космологических уравнений доказано из весьма общих
топологических соображений. Интересный обзор результатов дан в книге: Р.
П е н-р о у з, Структура пространства - времени, "Мир", 1972. Эта книга,
однако, требует хорошей геометрической подготовки. Очень важные
результаты о поведении моделей вблизи особенностей Лифшиц а, Халатников
а, Белинского изложены в их обзоре (УФН 102, 463 (1970)). Подготовленный
читатель найдет в этих работах и дальнейшие литературные указания. В этом
направлении сейчас идут самые интересные исследования. (Прим. ред.)
28 Р. Толмсн
434
Гл. X. КОСМОЛОГИЯ
Из принципов релятивистской термодинамики, изложенных в главе IX,
следует, что релятивистский аналог первого закона обычной термодинамики
вытекает из уравнения для плотности тензора энергии - импульса
релятивистской механики:
TT~Y = (166.2)
dxv *
Определяя компоненты тензора энергии - импульса с помощью уравнения для
интервала ds2, в соответствии с (150.5) и (150.6), получаем, что отличны
от нуля только следующие компоненты:
T" = -g"p0, T22=-g22p0, T**=-g**p0, Т"=рсс (166.3)
Опуская индексы, находим
т\ = т1 = т1= - р0, т\ = р00,
где ро и роо - собственные макроскопические давление и плотность
жидкости, т. е. те значения давления и плотности, которые получаются из
измерений локального наблюдателя, закрепленного неподвижно в заданный
момент времени в заданном месте. Подставив (166.3) в (166.2), в случае ц-
1 получим
-TriPoV^H) +
+ 1 Ро v~g (,я11 ^ + g22 + g33 + g44 %) = 0,
где последний член в скобках можно прибавить потому, что gt. постоянно.
Это уравнение с помощью соотношения (39) из Приложения III можно
переписать иначе:
-V-S?-e^ + p^-o.
Поскольку для р=2 и 3 получаются подобные же уравнения, то единственная
информация, которую мы можем извлечь из уравнения для плотности тензора
энергии - импульса, состоит в том, что в модели с интервалом (166.1)
давление не зависит от координат:
dJo _ __ ^Ро = г, (166.4)
дг "М йф v '
Но этот результат заранее очевиден, поскольку наша модель пространственно
однородна.
§ 167. СЛЕДСТВИЕ ВТОРОГО ЗАКОНА 436
В случае же ц = 4 выражения (166.2) совместно со (166.3) приводят, так же
как и в § 151, к уравнению
д I I г л. 1 п 1/ ~f~nd8n I "22 d#22 I зз dg33\ -
^(роо^ -8) +-2р°У - 8[8 ~дГ + 8 -Щ-+2 7Г)~°'
откуда, после подстановки значения g^v из интервала ds2, получается
следующий важный результат:
О | г* sin 0 с /,g(0 ^ , д ( г* sin 0 е /,в(0 | ,, С\
dt \Р"° [1 + r*/4"g]3 J + Podt \ [1 +rV4R2]3 '¦ ( }
Так как собственный объем элемента жидкости, заключенного в
координатной области бгбОбср рассматриваемой нами сопутствующей системы
отсчета, равен
J • д 7 2gd)
Ч = ^ бг 60 6<р. (166-6)
то (166.5) можно переписать в виде
^(РооЧ) +A.J- (Ч)=0. (166.7)
Из этого уравнения, как было отмечено вначале, следует, что собственная
энергия каждого элемента жидкости в системе отсчета локального
наблюдателя меняется с изменением собственного объема данного элемента
так же, как и при обычном адиабатическом сжатии или расширении жидкости.
Этот результат важен с термодинамической точки зрения, ибо показывает,
что между элементами жидкости в рассматриваемой модели не происходит
теплообмена. Однако и этот результат тоже можно считать следствием
пространственной однородности модели.
§ 167. Следствие второго закона релятивистской термодинамики
Согласно § 119 закон релятивистской термодинамики, аналогичный обычному
второму закону, можно сформулировать в виде
?-Дф°^ V=g)8xW8x4x*^, (167.1)
где ф0 - собственная плотность энтропии жидкости в заданный момент
времени и в заданном месте, dx^/ds - компоненты макро-28*
436
Гл. X. космология
скопической "скорости" этой жидкости, определенные в выбранной системе
координат, Т0 - собственная температура, a 6Qo - количество тепла,
протекшего внутрь элемента жидкости
6х16х26х3 за время 6х4, причем все величины отнесены к локальному
наблюдателю. Знак равенства в этом выражении выполняется в обратимых
процессах, а знак неравенства - в необратимых.
Пользуясь тем, что в моделях с интервалом в виде (166.1) в сопутствующей
системе отсчета можно положить
dr = M = dф = 0 ^ 1 (167.2)
ds ds ds ds
и что процессы в рассматриваемых моделях, как было показано в предыдущем
параграфе, протекают адиабатически, т. е.
6Q0=0, (167.3)
можно переформулировать релятивистский второй закон следующим образом:
га sin е е ig(0
[l+r^g]3
бгбббф >0, (167.4)
или
Yt( ФоН)>0, (167.5)
если учесть выражение (166.6) для собственного объема. Полученный
результат показывает, что собственная энтропия каждого элемента жидкости
может только возрастать или, в лучшем случае, оставаться постоянной во
времени.
Соотношения (166.7) и (167.5) можно считать вполне удовлетворительными,
