Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
ибо они гласят, что локальный наблюдатель, исследуя элемент жидкости в
непосредственной близости от себя, обнаружит в нем те же самые
закономерности, какие предсказываются классической термодинамикой для
адиабатического расширения и сжатия.
§ 168. Условия термодинамического равновесия в статической Вселенной
Эйнштейна
Термодинамические закономерности, установленные выше для нестатнческих
моделей, можно использовать для исследования условий равновесия
эйнштейновской Вселенной, ибо последняя является частным случаем, когда
g(t) не зависит от времени.
§ 168. РАВНОВЕСИЕ ВСЕЛЕННОЙ ЭЙНШТЕЙНА
437
Условия термодинамического равновесия можно определить обычным образом,
исследуя возможные изменения в малой области модели при изменении радиуса
R = R0e'tS (168.1)
и числа молей
л?, л?, ...,л° (168.2)
различных химических веществ, составляющих данный элемент жидкости, а
значит, и всю жидкость.
Варьируя эти параметры, можно временно считать, что модель является
нестатической, т. е. что энергия и энтропия каждого элемента жидкости
изменяются согласно (166.6) и (167.5). Поскольку, однако, энтропия
каждого элемента, согласно (167.5), может только либо возрастать, либо
оставаться постоянной во времени, то при наличии термодинамического
равновесия должно выполняться условие
6(фо^о)=0 (168.3)
при дополнительном условии
6 (роо^о) -bPoSt>o=0, (168.4)
где собственный объем рассматриваемого элемента жидкости Vo равен
" " 69 6ф. (168.5)
[1 +^/4К§]
Чтобы воспользоваться вышеприведенными условиями равновесия, запишем по
аналогии с классической термодинамикой:
6 (ФоЧ,) - 6S0 = 1 6Е0 + 6л? + . . .
8п°¦ (Ш6>
\dnn/E',v0
Записать это соотношение, очевидно, можно потому, что измеряемая
локальным наблюдателем собственная энтропия 50=фо1>о, как нетрудно
видеть, зависит от собственной энергии объема и химического состава, так
же как и в классике.
Учитывая, кроме того, что собственная энергия ?'о=роо^о, и принимая во
внимание (168.4) и (168.6), получаем в качестве
438
Гл. X. КОСМОЛОГИЯ
необходимого условия термодинамического равновесия статической Вселенной
Эйнштейна следующее равенство:
Сравнивая это соотношение с (60.12), мы видим, что оно тождественно
классическому условию химического равновесия между различными
компонентами жидкости. Это означает, что относительное содержание
различных материалов, которые могут переходить друг в друга, например
водорода и гелия или даже вещества и излучения, в статической Вселенной
Эйнштейна будет при термодинамическом равновесии точно такое же, как и в
плоском пространстве -времени. Это очень важно, ибо любое влияние
гравитационной кривизны на относительный состав в таких моделях имело бы
большое значение для космологии*).
Хотя пару соотношений (168.3) и (168.4) или эквивалентную им пару
(168.4), (168.7) можно рассматривать как необходимые условия
термодинамического равновесия, однако вопрос о том, являются ли эти
условия достаточными для того, чтобы равновесие было устойчивым, требует
дополнительных исследований. Результаты § 159 показывают, что равновесие
эйнштейновской Вселенной, вообще говоря, неустойчиво по отношению к малым
изменениям радиуса; исключение могло бы возникнуть, только если бы
заключенная в ней жидкость обладала свойством увеличивать давление при
увеличении объема.
Второй закон термодинамики в форме (167.5), отнесенный к однородным
космологическим моделям:
помогает отличить обратимые процессы в этих моделях от необратимых.
Для обратимых процессов в выражении (169.1) следует взять знак равенства,
и критерием обратимости может служить постоянство собственной энтропии
каждого элемента жидкости, заключенной в модели. Таким образом, чтобы
определить, в какой мере возможны обратимые процессы в модели, нужно
иссле-
(168.7)
§ 169. Условия обратимости и необратимости в нестатических моделях
d
Jt (фобУ0)>0,
(169.1)
*) Предположение о таком влиянии было впервые высказано Ленцем [108].
Однако см. [109, 110].
§ 169. ОБРАТИМОСТЬ И НЕОБРАТИМОСТЬ
439
довагь причины, которые могут привести к возрастанию энтропии элемента
жидкости.
Во-первых, как указывалось в § 130, энтропия не может возрастать из-за
необратимой передачи тепла, так как вследствие однородности модели и
согласно первому закону в модели нет никакого теплообмена. Во-вторых,
энтропия не может возрастать и в результате такого процесса, как трение
движущихся частей о стенки сосуда, которое имеет место при обычных
адиабатических изменениях объема, ибо здесь нет никаких частей или
стенок. И, в-третьих, энтропия не может возрастать из-за того, что
давление в жидкости устанавливается не сразу всюду одинаковым, внутри и
на границе каждого элемента, как это имеет место при обычных расширениях
и сжатиях в цилиндре, где в результате движения поршня возникает градиент
давления. Здесь этого не может быть, потому что вследствие однородности
модели давление (см. 166.4) всюду одинаково.
Таким образом, мы видим, что хорошо известные источники роста энтропии, с
