Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
носить необратимый характер, и чем такая эволюция отличается от
термодинамически обратимого поведения во времени. К этому мы и приступим
в III части настоящей главы.
§ 165*. Эффект неоднородности в космологических моделях*)
1. Введение. В применениях релятивистской механики и релятивистской
термодинамики к космологии обычно рассматриваются однородные модели
Вселенной, заполненные идеальной жидкостью, которая в любой момент
времени имеет одни и те же свойства во всем ее объеме. Такой подход
оправдывается, конечно, тем, что однородные модели с математической точки
зрения более просты по сравнению с неоднородными.
*) Перевод статьи: R. С. Т о 1 ш a n, Effect of Nonhomogenity on
Cosmological Models, Proc. Nat. Acad. Sci. 20, 169-176 (1934), сделанный
В. М. Дубовиком, добавлен в русском издании (Прим. ред.)
(165.10)
рг=2,5 -10 5 рт.
(165.11)
426
Г'л. X. космология
Однородность распределения подтверждается наблюдаемым распределением
межгалактических туманностей вплоть до расстояний порядка 108 световых
лет, доступных стодюймовому телескопу обсерватории Маунт Вильсон*). Тем
не менее следовало бы убедиться в тенденции к исчезновению
неоднородностей со временем, чтобы иметь уверенность, что поведение
Вселенной в очень отдаленных областях или за чрезвычайно большие периоды
времени действительно можно описывать с помощью однородных моделей.
Цель этой статьи - расширить наши теоретические знания об эффектах
неоднородности в космологических моделях. Для упрощения будут
рассматриваться самые простые модели, заполненные пылевидными частицами
(туманности), в которых давление пренебрежимо мало и распределено
неоднородно, но сферически симметрично относительно некой начальной точки
- начала координат. Это позволяет использовать выражения для интервала и
результаты, эквивалентные тем, которые были получены Ле-мэтром [138] при
исследовании механизма образования туманностей. Результаты нашего
исследования подчеркивают возможную опасность заключений о реальной
Вселенной на основании далеких экстраполяций свойств однородной модели.
2. Тензор энергии - импульса. Для наших исследований наиболее
подходящей является система сопутствующих координат, в которой
пространственные компоненты определяются координатной сеткой, связывающей
соседние частицы и движущейся вместе с ними. Используя предположение о
сферической симметрии и отсутствии давления (а следовательно, и
градиентов давления), нетрудно, привести интервал в такой модели к
обычной форме:
ds2=-eldr2-ea (d02+sin2 0 Ар2) -{-dt2, (1)
где X и о - функции г и t.
Рассмотрим тензор энергии - импульса, соответствующий нашей модели и
нашему выбору интервала.
С одной стороны, поскольку вещество, заполняющее модель, по предположению
пылевидное, не испытывающее никакого давления, мы можем записать тензор
энергии - импульса в виде
Р)
где р - плотность вещества, измеряемая локальным наблюдателем, движущимся
вместе с ним, а величины (dxa/ds) и (dx^/ds)
*) Крупномасштабная однородность не нарушается и для больших расстояний,
вплоть до 10'° световых лет, на которых зарегистрированы квазары. (Прим.
ред.)
§ 165 *. ЭФФЕКТ НЕОДНОРОДНОСТИ
427
являются компонентами скорости вещества относительно используемых
координат. В системе сопутствующих координат, когда интервал задается
формулой (1), исчезают все компоненты Г"Р, кроме одной:
Т\ = р, Tl = 0 (аилир^4). (3)
С другой стороны, компоненты тензора энергии - импульса, соответствующие
интервалу (1), могут быть получены из выражений, данных дляэтой общей
формы Динглем [71]; комбинируя полученные результаты с условиями (3),
легко получить систему уравнений, связывающих метрические переменные X и
со с плотностью р:
8пГ1 = е-и-е-^ + м + -|(в2-А = 0, (4)
О 'Г2 ЯттТ3 -X /М" _1 I ^ ^ _L
8пТ2 = 8лГз = - е М + --------- _|_ +_ +
2 ' 4 4 j 1 4 1 4
+ Т + ? + -?Г-Л = 0' (5)
8n7l = - е-^со" + 4 а'* - ^ - А = 8лр, (6)
8ле*Т\ = - 8л71 = + й7 = 0, (7)
где штрихи означают дифференцирование по г, точки - дифференцирование по
t, а Л - космологическая постоянная.
3. Решение уравнений. Для того чтобы проанализировать эти уравнения,
удобно прежде всего исключить X. Очевидно, что первый интеграл
уравнения (7) можно записать в виде
е f*(r) ' W
где f2(r) -^произвольная функция г, принимающая, однако, толь-
ко положительные значения.
Подставляя (8) в (1), можно переписать теперь интервал в форме (3):
ds2 = -еdf2 - еа (dQ2 + sin2 0 dcp2) + dt2. (9)
Подставляя (8) в (4), получаем 4
е"(а + 4(r)*-Л) +{1 ~/а(т = 0. (10)
428
Гл. X. космология
Очевидно, что в качестве первого интеграла этого уравнения можно написать
выражение
е3со/2 (y " Т Л) + 2е"'2' 1 " /2 (r) 'i ^ F (г)' (11)
где F(r) -еще одна произвольная функция г. Интеграл же этого уравнения
имеет вид
W ,"/2
= i -I- F (г), (12)
W.
Р (г)-1 + yf W<'e/! + j"*
где F (г) - третья произвольная функция.
Подставляя (8) в (5), нетрудно убедиться, что полученный результат
эквивалентен (10), так что в дальнейшем рассмотрев нии уравнения (5) нет
