Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
необходимости.
И наконец, подставляя (8) в (6), получаем следующее выражение для
плотности пылевидного вещества:
8яр = е~а 11 /2 (г) - J д.. 2 й* + - Л. (13)
Этот результат может быть записан в различных формах. Исключая /2(г) с
помощью (10), получаем
8лр = - Зсо - 2 со2- 2-У- + 2Л, (14)
(15)
(16) (17)
- Зсо - 2~- СО 3 2 со2 - 2- со со' , 1Г ¦+
1), перепись!! заем (13) в виде
8яр = - -Зсо/2 со' dF (г) дг '
'я затем (15) , находим
д In р 3 . со'
dt - 2 со - со' '
д2 In р 3 со' . /
dt2 ~ 2 (0 - ш' + й')
или, используя (14), получаем
д21пр , * , 1 /с5 In р\2 2 /соЛ /.оч
- = 4яр -Л-1-- +TU) • (18)
§ 160 *. ЭФФЕКТ НЕОДНОРОДНОСТИ
429
4. Применен и я. У нас теперь есть все, чтобы исследовать поведение
космологических моделей. С математической точки зрения из уравнений (10)
- (12) следует, что можно выбрать три произвольные функции f2(r), F (г) и
F(r) так, чтобы они соответствовали любым заданным начальным значениям,
со, со и со как функциям г при /=0, а затем, по крайней мере в принципе,
определить с помощью уравнения (12) изменение со в зависимости от г и г1.
С физической точки зрения это означает, что можно в рамках нашей модели
выбрать в момент времени t=0 величину е"ю/2/4/2 (г) так, чтобы вид
интервала (9) соответствовал любому заданному начальному соотношению
между радиальной координатой г и реально измеряемым расстоянием от начала
координат; кроме того, можно выбрать со так, чтобы выбор сопутствующих
координат находился в соответствии с любым заданным начальным
распределением (по г) измеряемой радиальной скорости вещества в модели,
и, наконец, можно выбрать
и так, чтобы уравнение (14) находилось в соответствии с любым заданным
начальным распределением плотности пылевидной материи как функции от г.
Уравнения определят тогда дальнейшее поведение материи в модели.
Посмотрим, что можно получить, действуя таким образом, в некоторых
конкретных случаях.
а) Статическая модель Эйнштейна. Пусть при t-0 распределения заданы
следующим образом:
еы = г\ со = 0, со = 0. (19)
В соответствии с выражениями (9)-(12) это дает интервал ста-
тической космологической модели Эйнштейна
ds3 = -- - r4Q2 - г* sin3 0 dcp2 + dt3, (20)
а согласно (14) получаем старое значение для однородной плотности в
модели Эйнштейна
4яр=Л. (21)
которая остается статической в соответствии с (16) и (17).
б) Искаженная модель Эйнштейна. Пусть при t-0 распределения выглядят так:
еа = г2, со = 0, со = со0 (г), (22)
гДе со есть начальная функция, зависящая от г. Тогда
430
Гл. X. космология
в соответствии с (14), (16) и (18) при ^=0 имеем 4яр = Л - у со0 - y оУ
г,
(23)
(24)
(25)
Следовательно, в такой искаженной модели Эйнштейна уже не существует
однородной плотности вещества, задаваемой (21), и, хотя плотность материи
первоначально не зависит от времени, она будет возрастать в тех областях
значений г, где она больше обычного эйнштейновского значения Л-4лр, и
будет уменьшаться в тех областях, где она меньше этого значения. Это
указывает на еще один вид неустойчивости в модели Эйнштейна (в дополнение
к той, что уже обсуждалась Эддингтоном и другими авторами *)), так как
уже начальное поведение характеризуется увеличением отличия от
однородного распределения Эйнштейна. Кроме того, очевидно, что в
областях, в которых плотность начинает возрастать, из общей формы
уравнения (18) следует, что вблизи сингулярного состояния,
характеризуемого бесконечным значением плотности, или же в районе
нарушения наших упрощенных уравнений не начнется процесс обратной
конденсации. Из уравнения (25) также следует, что в случае обычного
плоского пространства, Л=0, пылевидная материя, обладающая любым
сферически симметричным стационарным распределением, начинает
конденсироваться, что согласуется с интуитивными представлениями на
уровне теории тяготения Ньютона.
в) Нестатическая модель Фридмана. Пусть при t - О распределения заданы
следующим образом:
где go, go и go - соответствующие мгновенные значения некоторой функции
g(t). Привлекая (9) - (12), можно получить известный интервал Фридмана
для случая однородного распределения расширяющейся и сжимающейся материи:
ds2 = - -j + rW + г2 sin2 0 ^ф2 + dt2, (27)
/Л" )
где R0 - константа, значения которой можно получить с помощью (10), a
g(t) имеет характерную зависимость от t для однородной
(26)
*) См. § 159. {Прим. ред.)
§ 165 *. ЭФФЕКТ НЕОДНОРОДНОСТИ
431
модели, не содержащей ничего, кроме пылевидной материи, испытывающей
пренебрежимо малое давление.
Согласно формулам (14), (16), (18) начальные распределения и поведение
материи в модели задаются формулами
4яр = Л g0 <?о> (28)
= (29) ^-Р = 4-р-Л + |(^)2. (30)
г) Искаженная модель Фридмана. Зададим распределения при ^=0 в виде
еш = ееч2, ш = go. " = со0 (г), (31)
где go и go введены также, как и выше, но в начале со - любая
произвольная функция от г.
Используя (14), (16) и (18), при Z1-0 получаем
4лр = А - у Щ - y "ог - Но, (32)
д In р 3 ' /о0\
