Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 174. РАСШИРЕНИЯ И СЖАТИЯ В ЗАКРЫТОЙ МОДЕЛИ
449
§ 174. Аналитическое исследование последовательных расширений и сжатий в
закрытой модели с Л-О
Так как на самом деле необратимые термодинамические процессы в реальной
Вселенной все же имеют место, то необратимому поведению космологических
моделей тоже следует уделить внимание. Чтобы подготовиться к решению
возникающих здесь проблем, рассмотрим эволюцию закрытых моделей с Л,
равной нулю, аналитически, допуская при этом как термодинамическую
обратимость, так и необратимость. Мы выбрали именно эти модели главным
образом потому, что, как уже указывалось раньше, естественнее всего
положить Л равным нулю. Кроме того, в закрытых моделях с нулевой Л те
новые релятивистские черты, которые мы собираемся изучать, проявляются
наиболее выпукло.
Мы уже видели в § 157, е, что модели указанного типа могут только
расширяться от нижнего сингулярного состояния до конечного максимума и
затем сжиматься снова к малым объемам. Теперь мы исследуем это поведение
более подробно [113].
Для рассматриваемых моделей формулу интервала можно записать в следующем
виде:
ds2 =----------------------+ гЧ62 + г2 sin2 6 dcp2) + dt\ (174.1)
а выражения для собственных давления и плотности взять из
(150.7) и (150.8):
8яр0= g2 (174.2)
и
8лр00 = "^е'г+"г^- <174-3)
где Л мы приняли равной нулю, a Ro, согласно предположению о том, что
модель закрыта, следует считать больше нуля:
Яо>0. (174.4)
Далее, из физических соображений следует, что
Роо>0, (174.5)
так как плотность материи в модели может быть только положительной или
нулем. Точно так же следует принять, что
^9 Р, Толмен
Ра^О,
(174.6)
450
Гл. X. космология
так как мы будем рассматривать модель, заполненную смесью материи и
излучения, в которой может существовать положительное давление, но
которая не может противостоять растяжению.
а) Верхняя граница расширения. Предположив, что в начальный момент
времени t=0 модель имеет конечный объем и конечную скорость расширения,
т. е.
S ~ §о> g = g0, (174.7)
можно показать, что возрастание g(t) будет происходить только до
некоторого конечного предела, вне зависимости от того, является ли
расширение обратимым или необратимым.
Учитывая уравнение (174.2) и неравенство (174.6), можно записать:
г+4в* + -^-в~в<°; <174-8)
если же умножить это выражение на величину 2el,gg, которая является
положительной, поскольку g при расширении положительно, то неравенство
преобразуется к следующему виду:
2eUg g g + -L eUi g3 + -|^ e'a g < 0.
ИЛИ
-4r [elaё2) b 4r ^ (174-9^
A'0
Это неравенство выполняется все время, пока g возрастает.
Интегрируя (174.9) между (=0 и интересующим нас моментом t = t и
подставляя начальные значения g и g из (174.7), получаем
е 'й ё2 + е !g" ёо -1- -I? e'l,S" (174.10)
"о *0
2
или, вспоминая, что согласно (174.4) Ro положительно, находим
е!а < е^ + -f-е:л g02 - е*'*& С7411)
все время, пока g возрастает. Следовательно, так как go и go по
предположению конечны, то g не может превосходить некоторого конечного
верхнего предела, т. е.
gsS'f. (174.12)
где у - конечная величина.
§ 174. РАСШИРЕНИЯ И СЖАТИЯ В ЗАМКНУТОЙ МОДЕЛИ
451
б) Время, необходимое для достижения максимума. С учетом полученного
результата легко далее показать, что g достигнет максимального значения и
начнет убывать за конечное время. Учитывая неравенства (174.8) и
(174,12), получаем
Г
или
d8
dt
e-v,
(174,13)
откуда, интегрируя между /=0 и каким-либо интересующим пас моментом,
находим
8<8o--^e-U ,
где go - начальное значение dgjdt. Отсюда, однако, следует, что g(t)
достигнет своего максимума за конечное время
i<Rleyg0 (174.14)
и после этого начнет убывать.
в) Время, нужное для полного сжатия. Интересно также рассмотреть
эволюцию модели после того, как она достигнет максимума и начнет
сжиматься. Так как g, очевидно, становится при этом отрицательным, то
умножение (174.8) па отрицательную
3;.g .
величину 2е g и последующее интегрирование, как это делалось при выводе
(174.10), приводит к выражению
3"g-) 4 '2S '.J <", . 4 ¦'" g,n
в S' + ~g2e >е 8т + ~й*е
где g", и gm - значения g и g при переходе через максимум в момент t=tm.
Но так как при переходе через максимум скорость равна нулю, то gm=0, и
результат можно переписать в виде
1 j g .
аг> ,
о
4 ( 1 I Sni !/
-в ).
Далее, поскольку g, отрицательно, a Ro действительно и положительно, что
соответствует закрытой модели, то это неравенство
Ж
452
Гл. х. космология
эквивалентно следующему:
,е dg ^ 2 Л/ v,fm '/,е
: R7 V е
е чг<-^У е -е • (174Л5)
Полученное выражение легко проинтегрировать между моментом tm, когда
модель переходит через максимум, и каким-то более поздним моментом t\ при
этом получается
" I '/* * 1 f '/•v*е
- tm<^Ro\e ye - e -
'¦* 8
'l8m - e ,1 Vi sm\
- e arcsin \--?ne 1. (174.16)
¦/4 Sm
e
Из этого выражения следует, что уже за конечное время
(174.17)
после прохождения максимума значение g уменьшится до минус бесконечности,
если только раньше не возникнет сингулярное состояние.
