Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
откуда определяется x, а значит и R=R0e'hg(-l>, как функция времени.
Так как второй член в этом выражении стремится к минус бесконечности,
когда х стремится к нулю, а первый член стремится к плюс бесконечности,
когда х стремится к бесконечности, отсюда видно, что модель должна
монотонно расширяться, перерождаясь из статической эйнштейновской
Вселенной с R=Rx при t=-oо в пустую Вселенную де Ситтера при t=oо,
приближаясь к обоим этим состояниям асимптотически.
Влияние давления излучения на расширение определяется во всех
вышеприведенных выражениях фактором Легко ви-
деть, однако, что это влияние должно быть заведомо мало, так как согласно
(161.1) и (161.2) можно записать, что
Р_ _ 2/?? /lfil Q\
R\ Р е + Рн ( }
где рЕ и р? - давление и плотность начального статического
эйнштейновского состояния. Отсюда видно, что $/R% во всяком случае может
принимать только значения между нулем (если
модель седержит вещество без излучения) и -у (если модель
содержит только излучение). Учитывая теперь то, каким образом эта
величина входит в вышеприведенное выражение, мы можем утверждать, что
процесс расширения первоначально определяется только радиусом RE
исходного статического состояния.
Этот факт специально исследован де Ситтером [101], который рассмотрел
поведение во времени двух моделей, для которых
Р = 0 и = (161.10)
т. е. когда нет или излучения, или вещества, соответственно. Для первого
случая уравнение (161.8) приводится к виду
t = V3Rt
In lx + ух Н- 2) +
i х + Vx-Vz -r=. In уз
+ yx + V3
+ const,
(161.11)
§ 161. МОДЕЛИ, РАСШИРЯЮЩИЕСЯ ИЗ СТАТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ 417
а для второго - к гораздо более простому выражению:
t - ^=1п4 (х2 -4- 2х) -f const = yL In (R2 - R2E) -j- const. (161.12) у 2
У 2
Однако при одинаковых значениях RE оба выражения даюг очень похожие
картины расширения, как видно из кривых I и VII на рис. 8, взятом из
статьи де Ситтера. Отсюда ясно, что модель с нулевым давлением, которую
Лемэтр рассматривал в 1927 г. с целью определить ее пригодность для
описания реальной Вселенной, является хорошим представителем всего класса
подобных моделей.
Иногда расширяющиеся Вселенные, которые в начальном состоянии совпадают
со статической эйнштейновской Вселенной,
Рве. 8.
привлекали внимание космологов тем, что уравнения в этом случае не
приводят к сингулярным состояниям, и тем, что у этих моделей есть
бесконечный запас времени для прошлых космологических процессов. Однако
после работ Эддингтона [94] и других [103, 69] стало ясно, что
логарифмически бесконечный запас для прошедшего времени в подобных
моделях не имеет практического значения из-за неустойчивости статической
эйнштейновской Вселенной, о чем мы уже говорили в § 159.
27 Р. Толмем
418
Гл. X. космология
§ 162. Монотонно расширяющиеся модели с нестатическим начальным
состоянием
Для моделей, которые расширяются не от статического начального состояния,
в общем случае нельзя получить простое функциональное соотношение между
радиусом и временем, подобное уравнению (160.3), справедливому, когда
количество вещества сохраняется. Однако можно провести численные расчеты.
На рис. 8 представлены кривые зависимости радиуса от времени для
некоторых моделей подобного рода, рассчитанные де Ситтером.
Кривые на этом рисунке могут быть разделены на четыре группы. Кривые I и
VII относятся к уже упомянутому случаю, когда есть материя, но нет
излучения и, наоборот, есть излучение, но нет материи, а модель
расширяется от начального статического состояния. Кривые II и IV
относятся к моделям типа М2, рассмотренным в § 157, д, которые сначала
сжимаются до несингулярного минимального радиуса, отсекаемого на
критической кривой, а затем монотонно расширяются, перерождаясь в пустую
Вселенную де Ситтера. Кривые III и V относятся к моделям типа М\,
рассмотренным в § 157, в. Эти модели монотонно расширяются от
сингулярного состояния, радиус которого в данном случае был принят равным
нулю. Наконец, кривая VI относится к предельному случаю абсолютно пустой
Вселенной.
Что касается отражения реальной Вселенной, то вселенные первого рода,
которые монотонно расширяются от сингулярного состояния, имеют то
преимущество, что они проводят достаточно большой промежуток времени вне
сингулярного состояния. Ле-мэтр [104] недавно отстаивал подобные модели и
образно описывал начальное сингулярное состояние как состояние
гигантского атома.
§ 163. Осциллирующие модели (Л=0)
Поскольку, как мы уже говорили, разумно положить космологическую
постоянную Л равной нулю и полностью исключить ее из уравнений Эйнштейна,
то следует обратить особое внимание на осциллирующие модели, которые в
этом случае становятся единственно возможными для описания закрытой
Вселенной. Поведение следующих двух моделей поддается исследованию
наиболее легко.
Первая из этих моделей была предложена Фридманом [84] еще в 1922 г.; ею
потом пользовался Эйнштейн [105]. В качестве вещества, заполняющего эту
